Jugando con wolfram alpha, estoy notando que para un $s$ mayor que $1$ :
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s}=\frac{4^{\frac{1}{2}(s-1)}-1}{4^{\frac{1}{2}(s-1)}} \zeta(s)$$
Por todos mis intentos hasta ahora. ¿Cómo puedo derivar esto/probarlo?
$$\sum_n(-1)^{n-1}\frac 1 {n^s}=-\sum_{n}\frac 1{(2n)^s}\color{green}{-\sum_{n}\frac 1{(2n)^s}}\color{red}{+\sum_{n}\frac 1{(2n)^s}}+\sum_n\frac1{(2n+1)^s}$$ $$=-\frac 2{2^s}\sum_n\frac 1{n^s}+\sum_n\frac 1{n^s}=\zeta(s)\left(1-\frac1{4^{\frac 12(s-1)}}\right)$$ $$=\left(\frac{4^{\frac 12(s-1)}-1}{4^{\frac 12(s-1)}}\right)\zeta(s)$$
Supongamos que $s>1$ . Por la convergencia absoluta, se puede escribir $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^s}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac1{(2k)^s}+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{-1}{(2k-1)^s}=\frac1{2^s}\zeta(s)-\zeta(s)\left(1-\frac1{2^s}\right) $$ es decir $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^s}=(2^{1-s}-1)\zeta(s) $$ como has observado.
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