Si $v^*Av=1$ implica que $v^*Bv=1$ , entonces es $A=B$ ?

Question

Dejemos que $A,B \in \mathbf{M}_{n \times n}(\mathbb{C})$ sea hermitiana.

Si siempre que $v^*Av=1$ implica que $v^*Bv=1$ , entonces es $A=B$ ?

Mi enfoque

1) Se puede utilizar el teorema fundamental del álgebra para demostrarlo. En la expansión de la ecuación de $v^*Av=1$ Sin embargo, hay dos $z_i$ y los conjugados de $z_i$ . Así que no puedo aplicar el teorema directamente a mi problema.

2) Poniendo $z_i$ a $x_i+iy_i$ para los indeterminados y $\alpha_{ij}$ a $a_{ij}+b_{ij}$ para componests de $A$ o $B$ Puedo obtener ecuaciones reales, partes reales y partes imaginarias, para $v^*Av=1$ y $v^*Bv=1$ . Dado que los ceros de la ecuación de la parte real de $v^*Av=1$ son también las de $v^*Bv=1$ , espero que dos ecuaciones sean iguales y así $A=B$ . Pero esta idea tiene algunas lagunas. Dado que los coeficientes de las ecuaciones son combinaciones de componentes de $A$ y $B$ El argumento de que dos ecuaciones iguales provienen de la misma matriz requiere más razonamiento.

¿Hay alguna prueba más sencilla y clara?

De hecho, no estoy seguro de que mi problema sea la verdad.

Gracias de antemano.

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Condición adicional:

$\exists v$ s.t. $v^*Av=1$

Answer 1

La afirmación, tal como está, no es cierta. Por ejemplo, cuando $A$ es negativa definida, la afirmación " $v^\ast Av=1$ implica que $v^\ast Bv=1$ " es una verdad vacía para cualquier $B$ . Es cierto, sin embargo, si se asume que $u^\ast Au=1$ para algún vector $u$ .

Esbozo de prueba. Por supuesto, $v^\ast (A-B)v=0$ siempre que $v^\ast Av$ es positivo. Elija cualquier $w\in\mathbb C^n$ y definir un polinomio cuadrático $p(t)=(u+tw)^\ast (A-B)(u+tw)$ en $t\in\mathbb R$ . Tenga en cuenta que $p(t)=0$ cuando $t$ es pequeño, porque $(u+tw)^\ast A(u+tw)$ es positivo para un número pequeño de $t$ . Por lo tanto, $p$ es el polinomio cero y puedes continuar desde aquí.

Answer 2

SUGERENCIA: Demuestre primero que $v^* A v = v^* B v$ para cualquier $v$ . Entonces, usando una identidad de polarización, que funciona para formas hermitianas, demuestre que $v^* A w = v^* B w$ para cualquier $v$ , $w$ . A partir de aquí debería estar claro.