Supongamos que se colocan 5 monedas al azar en casillas de una cuadrícula de 5 × 5 (por lo que hay 25 casillas), sin que se permita que dos monedas ocupen la misma casilla. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que no se coloquen dos monedas en la misma fila? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se coloquen dos monedas en la misma fila y de que no se coloquen dos monedas en la misma columna?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Hugh Entwistle
Puntos
37
En primer lugar, hay $25\times24\times23\times22\times21$ formas de colocar 5 monedas en su $5\times5$ de tal manera que no haya dos en el mismo espacio. Esto puede expresarse más convenientemente como $\frac{25!}{20!}$
PREGUNTA 1. Cada vez que colocas una moneda -- ya no puedes colocarla en la fila, o en el mismo espacio de nuevo (por las reglas) Así que resta 5 del número de formas en que puedes colocar una moneda cada vez: $$P(a) = \frac{25\cdot20\cdot15\cdot10\cdot5}{ \frac{25!}{20!}} = \frac{20!\cdot(25\cdot20\cdot15\cdot10\cdot5)}{25!}$$
PREGUNTA 2. Juega tú mismo al juego y anota en cuántos lugares posibles puedes poner la siguiente moneda en cada turno. Puedes observar que cuando eliminas una columna y una fila que se cruzan en un $n\times n$ de la rejilla, está eliminando $2n-1$ (el $-1$ es el que da cuenta del solapamiento). Ahora podemos observar que una cuadrícula que contiene $n^2-2n+1$ espacios esencialmente (a efectos de su pregunta) se convierte en un $(n-1)\times(n-1)$ rejilla Así que la probabilidad se convierte en lo siguiente: $$P(b)=\frac{25\cdot16\cdot9\cdot4\cdot1}{\frac{25!}{20!}}=\frac{20!\cdot(25\cdot16\cdot9\cdot4\cdot1)}{25!}$$
Espero que esto ayude, por favor vote o acepte esta respuesta si tiene sentido para usted.
user52919
Puntos
356
El primero: La primera moneda puede colocarse en cualquier lugar de la cuadrícula, un total de $25$ . El segundo, no puede estar en la misma fila, por lo que las 4 filas restantes, un total de $20$ posiciones. Siguen las terceras, cuartas, .... Las posibilidades totales son $A_{25}^5$ , por lo que se obtiene $$ \frac{20!\cdot 25\cdot20\cdot15\cdot10\cdot5}{25!} $$
La segunda: Al igual que antes, el primero se puede poner en todos $25$ posiciones. Una vez hecho esto, habrá un total de $2\times5-1=9$ posiciones en las que no se puede rellenar ya que son posiciones con la misma fila y columna que la primera moneda. Esto le da $25-9=16$ posibilidades. La tercera moneda se puede poner en la $16-9=7$ posiciones, pero fíjese que habrá una redundancia de $2$ posiciones cuando se descartan los elementos de las mismas filas y columnas del primer y segundo elemento, por lo que en realidad se obtiene $7+2=9$ puestos restantes. Siguiendo este camino, la cuarta moneda tiene un total de $9-9+2+2=4$ posibles ubicaciones. El último, como he argumentado anteriormente, sólo debería tener $1$ posibles ubicaciones, y nuestro cálculo lo verifica ya que $4-9+2+2+2=1$ . Así que tiene un total de $25\times 16\times 9\times 4$ posibles colocaciones, y la probabilidad para ello es $$ \frac{20!\cdot25\cdot16\cdot9\cdot4}{25!} $$
justartem
Puntos
13
Hay $\binom{25}{5}=53130$ resultados totales.
Para el problema $a$ hay $5^5$ maneras de elegir la moneda para cada fila, y por lo tanto la probabilidad es $\frac{5^5}{53130}$ .
Para el problema $a$ hay $5$ maneras de colocar la moneda en la primera fila, entonces $4$ formas de colocar la moneda en la segunda columna y así sucesivamente... Por lo tanto, la probabilidad es $\frac{5!}{53130}$
