¿Qué podemos decir del espacio dual del producto de los espacios de Hilbert? Supongamos que $V = A \times B$ y el producto interno de dos vectores en este espacio es el obvio (sumar los dos productos internos por separado). Entonces es $V^* = A^*\times B^*$ y es $\langle f, u \rangle = \langle f_1, u_1 \rangle + \langle f_2, u_2\rangle$ ?
Respuesta
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Considere $\phi \in V^*$ . Esto significa que $\phi: A \times B \to \mathbb{F}$ es una función lineal continua. Como $A \times B \simeq A \oplus B$ tenemos inclusiones $i_A: A \to A \times B, i_B: B \to A \times B$ y componiéndolos con $\phi$ nos dan dos funcionales lineales continuas $\phi \circ i_A: A \to \mathbb{F}, \phi \circ i_B: B \to \mathbb{F}$ . A la inversa, dados dos funcionales lineales continuos $f: A \to \mathbb{F}, g: B \to \mathbb{F}$ por la propiedad universal de una suma directa, estos dos nos dan un mapa $f \oplus g: A \times B \to \mathbb{F}$ . Así, cada $\phi \in V^*$ nos da un par de funcionales $f \in A^*, g \in B^*$ y cada uno de estos pares nos da un funcional en $V^*$ . No es difícil comprobar que esto nos da un isomorfismo canónico $(A \times B)^* \simeq A^* \times B^*$
En términos prácticos, para $u = (u_a, u_b) \in A \times B$ tenemos $u = (u_a, 0) + (0, u_b)$ (en la terminología anterior, $u = i_A(u_a) + i_B(u_b)$ ). Como $\phi$ es lineal, $\phi(u) = \phi((u_a, 0)) + \phi((0, u_b))$ . Si definimos $f: A \to \mathbb{F}$ como $f(a) = \phi((a, 0))$ (en la terminología anterior $f = \phi \circ i_A$ ), y del mismo modo $g: B \to \mathbb{F}$ vemos que $\phi(u) = f(u_a) + g(u_b)$ . Por lo tanto, el mapeo $\phi \mapsto (f, g) = (\phi \circ i_A, \phi \circ i_B)$ nos da el mapa $(A \times B)^* \to A^* \times B^*$ . Se puede comprobar fácilmente que es un isomorfismo lineal.
