Calculando la fuerza necesaria para levantar un peso con un tornillo

Question

Estoy tratando de aprender física por mí mismo ya que no tengo un buen profesor en la escuela. He estado leyendo las conferencias de Feynman sobre física y no puedo entender cómo encontró en este número. Aquí hay un extracto de el libro :

Ilustremos ahora el principio de la energía con un problema más complicado, el gato de tornillo que se muestra en la Fig. 4-5. Un mango $20$ pulgadas de largo se utiliza para girar el tornillo, que tiene $10$ hilos hasta la pulgada. Nos gustaría saber cuánta fuerza se necesitaría en el mango para levantar una tonelada ( $2000$ libras). Si queremos levantar la tonelada una pulgada, digamos, entonces debemos girar la manija diez veces. Cuando da una vuelta una vez, va aproximadamente $126$ pulgadas. El mango debe viajar así $1260$ pulgadas, y si usáramos varias poleas, etc., estaríamos levantando nuestra una tonelada con un peso menor desconocido $W$ aplicado al final del mango. Así que descubrimos que W es sobre $1.6$ libras. Esto es el resultado de la conservación de la energía.

Si se dividen $2000$ libras por $1260$ en que se obtiene $\frac {100}{63}$ que es $1.58$ un número lo suficientemente cercano a $1.6$ libras, que de acuerdo con Feynman es el peso que debemos aplicar al final del mango. Sin embargo, creo que este cálculo es erróneo dado un análisis dimensional de tal operación.

Aquí está mi análisis dimensional:

$\frac {2000 pounds * 1 in}{ 1260 inches }$ = $\frac {[M] * [L] }{[L]}$ = ${[M]}$ Y esto está mal, ya que se supone que debemos obtener una fuerza, no una masa.

Encontré esto sitio web donde puedes encontrar lo que creo que es un email de un estudiante informando al profesor que cree que obtuvo el número de buceo $\frac {5}{ \pi }$ . ¿Puedes explicarme esto también?

Finalmente, en un hilo en una pregunta del Foro de Física, concluyeron que $1.6$ es sólo la fuerza para mantener el sistema en equilibrio, y necesitas $\text {a force} > 1.6$ para levantar la tonelada. Después, alguien dijo que Feynman habría dicho que esta respuesta está equivocada. ¿Por qué?

Answer 1

El trabajo se calcula como fuerza por distancia. $$W = Fd$$ El objetivo de una máquina sencilla como un gato de tornillo es disminuir la fuerza necesaria. Sin embargo, el trabajo necesario sigue siendo el mismo, por lo que la distancia sobre la que se ejerce la fuerza tiene que aumentar. Para reducir la fuerza a la mitad hay que duplicar la distancia.

En este problema, se quiere levantar 2000 libras una distancia de 1 pulgada. Por tanto, la cantidad de trabajo es de 2000 pulgadas-lbf (lbf = libra-fuerza, o la cantidad de fuerza necesaria para levantar una libra). Para levantar el peso con el tornillo se necesitan 10 vueltas, por lo que con un mango de 20 pulgadas, se trata de una distancia de $10*2\pi*(20 in) \approx 1256\,in$ . Ponerlo todo junto: $$W = Fd$$ $$2000in \cdot lbf = F*(1256 in)$$ $$F = \frac{2000in \cdot lbs}{1256 in} = 1.6 lbs$$ Observe que esta fuerza funciona para cualquier distancia de elevación. Si quieres levantar el peso 5 centímetros, entonces tienes que hacer el doble de trabajo sobre el doble de distancia, lo que resulta en la misma fuerza.

Los que dicen que se necesita más de esta fuerza saben que se necesita un pequeño empujón para que el tornillo gire desde un punto muerto. Esto es similar al hecho de que, aunque no se necesita ninguna fuerza para mantener un objeto en movimiento, hay que darle un empujón para que se mueva en primer lugar. Una vez que el tornillo ha girado, sólo necesita 1,6 libras de fuerza para seguir girando (sin tener en cuenta la fricción).

Para el $5/\pi$ respuesta, equivale a lo mismo, sólo que haciendo las cuentas en un orden diferente: $$F=\frac{2000 in\cdot lbf}{10*2\pi*20in}=\frac{2000}{400\pi}\,lbf =\frac{5}{\pi}\,lbf = 1.59\,lbf$$

Answer 2

A partir de la geometría, se puede afirmar que para desplazar el tornillo una unidad de distancia, hay que desplazar el extremo de la empuñadura en $10\times 20\times 2\pi$ unidades de distancia. Llamemos a la unidad de distancia $[L]$ - en este caso, una pulgada podría ser una buena unidad, pero no tenemos que ser explícitos al respecto.

La conservación de la energía dice que el trabajo realizado sobre el sistema en un lugar debe ser igual al trabajo realizado por el sistema en otro lugar - el trabajo realizado al mover el mango debe ser igual al trabajo realizado para mover la masa.

Matemáticamente, podemos decir

$$F_1d_1 = F_2d_2$$

por lo que para una fuerza dada en el extremo del mango, se sabe que la fuerza que puede mover en la parte superior del tornillo viene dada por

$$F_{screw} = \frac{400 \pi [L]}{1[L]} F_{handle}$$

Ahora puedes expresar la fuerza en libras, newtons, dinas, kgf, kip, pond, poundal, o cualquier unidad de fuerza que te apetezca. Como el cociente de distancias no tiene unidades (las pulgadas, en este caso, se anulan) puedes ver que las dos fuerzas tendrán las mismas unidades. En otras palabras, el análisis dimensional funciona (normalmente lo hace).

Se puede ver, por simple manipulación, que si la fuerza ejercida por el tornillo es de 2000 unidades, la fuerza sobre el mango debe ser $\frac{5}{\pi}$ [unidades] como se dijo.

En cuanto a la cuestión del equilibrio frente al movimiento: si el sistema no tiene fricción, entonces necesitas una cantidad de fuerza adicional infinitesimal para poner el sistema en movimiento (para acelerarlo desde el reposo) después de lo cual puedes reducir la fuerza para que sea exactamente igual a $\frac{5}{\pi}$ [unidades] para seguir avanzando. Al final se puede reducir ligeramente la fuerza y el tornillo se detendrá. El trabajo total realizado para mover la masa hacia arriba es independiente de cuánto se haya acelerado la masa, siempre que esté en reposo al principio y al final del ejercicio, y por tanto la fuerza media será exactamente la calculada.

Como señaló David Richerby, al no haber fricción, hay que mantener la fuerza en todo momento para evitar que el tornillo vuelva a girar hacia abajo, pero no se realiza ningún trabajo (en el sentido de la física) por el mero hecho de mantenerlo quieto.