¿Cómo puedo resolver la siguiente ecuación?

Question

$$Ae^{Bx} + Cx = D$$

Resolver para $x$ , donde $A, B, C, D$ son constantes reales. Esto surgió en una pregunta de primer orden de la escuela secundaria. No importa lo que intente con los logaritmos, parece que no puedo aislar un $x$ en un lado de la ecuación. ¿Es esta ecuación irresoluble analíticamente? Si no es así, ¿cómo se resuelve generalmente algo así?

Answer 1

$$\begin{align} a\exp(bx) + cx &= d \tag{1}\label{1} \end{align}$$
para obtener la solución en términos de las constantes reales $a,b,c,d$ , necesitamos la función W de Lambert.

Para aplicarlo, necesitamos convertir $\eqref{1}$ en la forma $u\exp(u)=v$ :

$$\begin{align} \frac{ab}c\exp(bx) +bx &= \frac{bd}c ,\\ bx -\frac{bd}c &= -\frac{ab}c\exp(bx) ,\\ bx -\frac{bd}c &= -\frac{ab}c\exp\left(bx-\frac{bd}c+\frac{bd}c\right) ,\\ \left(bx -\frac{bd}c\right) &= -\frac{ab}c\exp\left(bx-\frac{bd}c\right) \exp\left(\frac{bd}c\right) ,\\ \left(\frac{bd}c-bx\right) \exp\left(\frac{bd}c-bx\right) &= \frac{ab}c \exp\left(\frac{bd}c\right) ,\\ \end{align}$$

y hemos conseguido transformar \Neqref{1} a $u\exp(u)=v$ , donde $$\begin{align} u&=\frac{bd}c-bx ,\\ v&= \frac{ab}c \exp\left(\frac{bd}c\right) . \end{align}$$

Ahora podemos aplicar la función W de Lambert, que ayudará a "desatar" $u\exp(u)$ plazo:

$$\begin{align} \operatorname{W}(u\exp(u)) &=\operatorname{W}(v) ,\\ u&=\operatorname{W}(v) ,\\ \frac{bd}c-bx &=\operatorname{W}(v) ,\\ x&=\frac{d}c-\frac{\operatorname{W}(v)}b \tag{2}\label{2} . \end{align}$$

Y $\eqref{2}$ sin ningún esfuerzo adicional, puede decir el número de soluciones reales para $\eqref{1}$, que depende del argumento $v$ . Si $v>0$ Sólo hay una solución real, $$\begin{align} x&=\frac{d}c-\frac{\operatorname{W_0}(v)}b , \end{align}$$

si $v<-\frac1{\mathrm{e}}$ no hay soluciones reales, si $-\frac1{\mathrm{e}}<v<0$ , hay dos soluciones reales distintas, $$\begin{align} x_1&=\frac{d}c-\frac{\operatorname{W_0}(v)}b ,\\ x_2&=\frac{d}c-\frac{\operatorname{W_{-1}}(v)}b , \end{align}$$

con la información adicional que en este caso $$\begin{align} -1<\operatorname{W_0}(v)&<0 ,\\ \operatorname{W_{-1}}(v)&<-1 . \end{align}$$

Y si $v=-\frac1{\mathrm{e}}$ , las dos soluciones coinciden, $$\begin{align} \operatorname{W_0}(v)&= \operatorname{W_{-1}}(v)=-1 , \end{align}$$

y de nuevo sólo hay una solución real, que tiene la forma más simple,

$$\begin{align} x &= \frac{d}c+\frac1b . \end{align}$$