Superficie de Riemann $y=(1-x^3)^{1/3}$

Question

Dejemos que $X\subset \mathbb C^2$ sea la superficie de Riemann dada por la función multivaluada) $y=(1-x^3)^{1/3}$ y que $\phi:X \to \mathbb C $ sea el mapa inducido. Sea $X'\subset P(\mathbb C^2)$ sea la curva compleja $x^3+y^3=z^3$ (en coordenadas homogéneas). Quiero definir una estructura de colector complejo en $X'$ y una holomorfa $\phi':X'\to \mathbb C$ que se extiende $\phi$ .

Hasta ahora sé lo siguiente,

(i) $(x,y) \mapsto [x:y:1]$ da un homeomorfismo $\psi$ de $\mathbb C^2$ en su imagen.

(ii) $\psi(X)\bigcup \{[1:-\zeta_3:0], [1:-\zeta_3^2:0], [1:-1:0]\}=X'$ .

Así que quiero definir primero una estructura de colectores para $X$ y empujarlo a $X'$ por $\psi$ y utilizar otro gráfico para cubrir $\{[1:-\zeta_3:0], [1:-\zeta_3^2:0], [1:-1:0]\}$ . Creo que $x$ es un gráfico de coordenadas alrededor de $x_0$ si fijamos una rama (fijar una $y_0$ ). Así que necesitamos tres gráficos para cubrir $X$ porque tenemos tres ramas. ¿Es esto correcto?

Además, ¿cómo construyo un gráfico compatible para cubrir los tres puntos en el infinito?

Answer 1

Si me pongo bien, $X$ es el lugar cero $x^3+y^3=1$ en $\mathbb{C}^2$ y su $\phi $ es la proyección sobre una de las coordenadas (asumiré que es la $y$ para que quede claro).

Ahora toma $X'$ que es, como se puede demostrar fácilmente, el cierre proyectivo de $X$ en $\mathbb{P}^2(\mathbb{C})$ .

Como bien has dicho, necesitas tres gráficos porque intuitivamente hay tres ramas. Una forma estándar de proceder en los espacios proyectivos es utilizar los gráficos estándar $x_i \neq 0$ que son (en el plano proyectivo) biholomorfas a $\mathbb{C}^2$ .

Si restringe $X'$ a este gráfico, obtendrá tres variedades: la primera (en el gráfico $z \neq0$ ) es su $X$ (y así se consigue la inmersión) y los otros dos están muy relacionados con $X$ (para que pueda encontrar fácilmente estructuras complejas en ellos de la misma manera que lo hizo con $X$ ).