Encuentre la ecuación de la variación de Pascal para calcular el enésimo elemento de la fila x

Question

Construí un triángulo de Pascal, pero en lugar de que cada valor de una fila sea la suma de los dos números que tiene encima, hice que cada valor sea la suma de los números que tiene encima dividida por el producto de esos números. Así, por ejemplo, las tres primeras líneas son 1, 1 1, 1 2 1, pero la tercera línea es 1 1,5 1,5 1, y la cuarta es 1 1,6 1,35 1,35 1,6 1, etc.

Los valores parecen converger (posiblemente $\sqrt2$ ?), pero no puedo saber con certeza si lo hacen ya que no tengo una cuadrícula lo suficientemente grande como para seguir realizando los valores.

¿Existe una ecuación en la que pueda introducir un número de fila y el elemento de esa fila para encontrar su valor? Creo que puedo utilizar la expresión $$n!/k!(n-k)!$$ para el Triángulo de Pascal, pero no sé cómo modificar la ecuación para esta variación.

Answer 1

El límite en el interior del triángulo es efectivamente $\sqrt 2$ . Si el límite es $L$ , la iteración converge a $L=\frac {L+L}{L^2}$ con solución $L=\sqrt 2$ . Podemos decir más. Las células de borde son todas $1$ por definición. La celda dentro del borde converge a $\phi=\frac {1+\sqrt 5}2 \approx 1.618$ De nuevo se puede encontrar el límite resolviendo $L=\frac {1+L}{1 \cdot L}$ que alcanza el valor indicado. El siguiente converge a $L=\frac {\phi + L}{\phi L}$ con solución sobre $1.356674$ Se puede seguir encontrando el límite de cada número de puestos hacia adentro desde el borde. Si el límite de la siguiente casilla hacia fuera es $A$ esta célula converge a $L=\frac {A+L}{AL}$ . Estos convergen rápidamente a $\sqrt 2$ .

$$\begin {array} {r r} \text{cells in}&\text{limit} \\ 0&1\\1&1.618034\\2&1.355674\\3&1.434666\\4&1.407504\\5&1.416462\\6&1.413465\\7&1.414463\\8&1.41413\\9&1.414241\\10&1.414204\\11&1.414217 \end {array}$$ Podríamos expresar cada una de ellas con radicales cada vez más anidados, pero eso no parece útil