Los hexágonos son los mejores para embaldosar un espacio 2D en términos de perímetro frente a área. ¿Qué es lo mejor para el espacio 3D?

Question

Si pensamos en el problema de la colmena, queremos hacer celdas 2D que dividan el plano de la miel en trozos de área gastando el menor perímetro (ya que el perímetro de las celdas es lo que consume recursos/esfuerzo). La solución acaba siendo el mosaico hexagonal.

¿Cuál es el "mosaico" análogo para el espacio 3D que es óptimo en un sentido similar? (más volumen, menos superficie)

Y si es posible, me gustaría saber la solución general para $n$ -Espacio D.

Para aclarar el enunciado del problema: supongamos que cada "celda" tiene un volumen de como máximo 1. ¿Con qué poliedro deberías dividir las celdas para minimizar la relación entre superficie y volumen? Por ejemplo, si se alicata todo con hipercubos, la proporción sería $2n$ , lo que probablemente no es óptimo.

Answer 1

Esto se conoce como el problema de Kelvin; la solución más conocida (y conjeturada como óptima) es la Estructura Weaire-Phelan pero probar esto es probablemente muy, muy difícil. No sé cuáles son los mejores resultados en $n$ dimensiones son, pero me sorprendería que se resolvieran para $n>3$ .

                                              

Answer 2

Supongo que la respuesta no se conoce por encima de las 2 dimensiones, pero es muy probable que si la respuesta es se conoce entonces en las dimensiones 1, 2, 8 y 24 (la 1 es trivial), y posiblemente exactamente en esas dimensiones.

Las dimensiones 1, 2, 3, 8 y 24 son aquellas en las que sabemos maximizar el número de fichas por unidad de volumen (el densidad de empaquetamiento ). Las dimensiones en las que sabemos cómo maximizar el número de caras por baldosa (el número de besos ) son 1, 2, 3, 4, 8 y 24. Estas cuestiones no son lo mismo que minimizar la cantidad de superficie, pero están relacionadas. La densidad de empaquetamiento en las dimensiones 8 y 24 sólo fue demostrada en 2016 por Maryna Viazovska y un artículo legible es aquí . El embalaje de 8 dimensiones se llama E8 con número de besos 240 y el embalaje de 24 dimensiones se llama Celosía de sanguijuelas con el beso número 196.560. Me encantaría hacer dibujos de E8 y del entramado de Leech para ti, pero hay problemas obvios.

La cuestión es que E8 y el entramado de Leech son empaquetamientos sorprendentemente buenos, por lo que a veces pueden lograr límites demostrables para los problemas de empaquetamiento. A pesar de que el problema de empaquetamiento se prolongó hasta 2016, el prueba es en realidad razonablemente corto y sencillo, en estas cosas. Es un caso raro en el que una prueba sólo necesita una idea brillante y luego todo funciona.

Obsérvese que el entramado (llamado A3 ) que maximiza tanto la densidad de empaquetamiento como el número de besos en 3 dimensiones es no la que minimiza el área, ya que no es el entramado dado en la respuesta de RavenclawPrefect, pero E8 y el entramado de Leech son tan buenos que tienen la posibilidad de resolver ambos problemas simultáneamente.