$p$ -Teoría de Hodge para espacios rígidos, según P. Scholze

Question

Estaba repasando la obra de P. Scholze papel en $p$ -Teoría de Hodge para variedades analíticas rígidas .

Esta pregunta se refiere a la " Lemma de Poincaré " en el periódico.

En todo momento, deja que $X$ sea una variedad analítica rígida adecuada sobre $\mathbf{Q}_p$ de dimensión pura $d$ .

El corolario 6.13 dice que el " $B_{\rm dR}$ -La "versión" del lema de Poincaré para la cohomología de Rham-étale se desprende directamente de la Proposición 6.10, para variedades analíticas rígidas suaves y propias.

La proposición 6.10 es una descripción de la gavilla $(\mathcal{O}\mathbb{B}_{\rm dR}^+)_X$ pro-étale localmente en $X$ como $\mathbb{B}_{dR}^+[\![t_1,\ldots,t_d]\!]$ para las secciones locales $t_1,\ldots,t_d$ de $\mathcal{O}\mathbb{B}_{\rm dR}^+$ .

Pregunta 1: No entiendo bien la implicación de la Prop. 6.10 $\Rightarrow$ Cor. 6.13.

¿Podría alguien que haya revisado el documento aclararlo por favor? Debe ser algo trivial en la línea: "pro-étale localmente en $X$ el complejo de Rham tiene este aspecto, de ahí el aumento de $\mathbb{B}_{dR}^+[0]$ es un cuasi-isomorfismo".

Observación 1. Hagamos un ejemplo, y llamemos a $x := (x_1,\ldots, x_d)$ , $x^{\pm\infty} := (x_1^{\pm 1/p^{\infty}},\ldots, x_d^{\pm 1/p^{\infty}})$ y "restringir" el complejo $\mathcal{O}\mathbb{B}^+_{\rm dR}\otimes_{\mathcal{O}_X}\Omega^{\bullet}_X$ a un $V\to X\widehat{\otimes}_{\mathbf{Q}_p}\mathbf{C}_p$ pro-étale, con $V$ lo suficientemente pequeño como para admitir un mapa étale finito a un toro "perfeccionado" $\text{Spa}\ \mathbf{C}_p\{x^{\pm\infty}\}$ de la que retiramos las coordenadas $x^{\pm\infty}$ . Brevemente, pro-étale localmente en $X\widehat{\otimes}_{\mathbf{Q}_p}\mathbf{C}_p$ el complejo $\mathcal{O}\mathbb{B}^+_{\rm dR}\otimes_{\mathcal{O}_X}\Omega^{\bullet}_X$ es:

$$\mathbb{B}_{\rm dR}^+[\![t_1,\ldots,t_d]\!]\otimes_{\mathbf{C_p}\{x^{\infty}\}}DR^{\infty}_{\mathbf{C}_p}$$

donde el $\mathbf{C}_p\{x^{\infty}\}$ -estructura de álgebra en $\mathbb{B}_{\rm dR}^+[\![t_1,\ldots,t_d]\!]$ debe ser detallado en los Lemmata 6.11, 6.12,

$$DR^{\infty}_{\mathbf{C}_p}: 0\to\mathbf{C}_{p}\{x^{\infty}\}\to\bigoplus_{a=1}^d\mathbf{C}_{p}\{x^{\infty}\}\text{d}x_a\to \bigoplus_{a<b}^d\mathbf{C}_{p}\{x^{\infty}\}\text{d}x_a\wedge \text{d}x_b\to\cdots\to\mathbf{C}_{p}\{x^{\infty}\}\text{d}x_1\wedge\ldots\wedge\text{d}x_d\to 0$$

y la afirmación de Cor. 6.13 es que el aumento $\mathbb{B}_{\rm dR}^+[0]\to \mathbb{B}_{\rm dR}^+[\![t_1,\ldots,t_d]\!]\otimes_{\mathbf{C_p}\{x^{\infty}\}}DR^{\infty}_{\mathbf{C}_p}$ es un cuasi-isomorfismo. La pregunta es por qué.

Debe haber algo más, porque localmente en la topología generada por subconjuntos racionales en $X$ el complejo de Rham de $X$ es:

$$DR: 0\to\mathbf{Q}_{p}\{x_1,\ldots,x_d\}\to\bigoplus_{a=1}^d\mathbf{Q}_{p}\{x_1,\ldots,x_d\}\text{d}x_a\to \bigoplus_{a<b}^d\mathbf{Q}_{p}\{x_1,\ldots,x_d\}\text{d}x_a\wedge \text{d}x_b\to\cdots\to\mathbf{Q}_{p}\{x_1,\ldots,x_d\}\text{d}x_1\wedge\ldots\wedge\text{d}x_d\to 0$$

Pregunta 2: si $\mathbf{Q}_p$ es la gavilla constante en la topología generada por subconjuntos racionales en $X$ es el aumento $\mathbf{Q}_p[0]\to DR$ ¿un cuasi-isomorfismo?

Observación 2. Los dos aumentos $\mathbf{Q}_p[0]\to DR$ y $\mathbb{B}_{dR}^+[0]\to (\mathcal{O}\mathbb{B}_{dR}^+)_X\otimes_{\mathcal{O}_X}DR$ no tienen realmente nada que ver entre sí.

Yo esperaría, por Pregunta 2 una respuesta del siguiente tenor:

• el aumento $\mathbf{Q}_p[0]\to DR$ con $$DR = 0\to\mathcal{O}_X\to\Omega^1_{X/\mathbf{Q}_p}\to\cdots\to\Omega^{d}_{X/\mathbf{Q}_p}\to 0$$ como un mapa de complejos de láminas abelianas en el sitio generado por subconjuntos racionales en $X$ , es un cuasi-isomorfismo. Probablemente porque se puede identificar $DR$ con un complejo de Koszul para el ideal $(x_1,\ldots,x_d)$ en $\mathbf{Q}\{x_1,\ldots,x_d\}$ y dicho ideal es generado por una secuencia regular?

• el aumento $\mathbf{Q}_p[0]\to DR$ con $$DR = 0\to\mathcal{O}_X\to\Omega^1_{X/\mathbf{Q}_p}\to\cdots\to\Omega^{d}_{X/\mathbf{Q}_p}\to 0$$ como un mapa de complejos de láminas abelianas sobre el étale/pro-étale sitios en $X$ es no un cuasi-isomorfismo, esencialmente por razones de dimensión cohomológica.

• para arreglar el problema en el punto anterior (y como nos importa la cohomología étale y no la cohomología wrto la topología generada por subconjuntos racionales, sí queremos arreglar este problema) necesitamos trenzas de periodo.

Pregunta 2 reformulada. ¿Verdad?

Observación 3. Esta parte del documento contiene un error, que ha sido abordado por Scholze en un errata . Aunque la errata está relacionada, las preguntas formuladas aquí no se ven afectadas por ello.

Agradecería más información/detalles. Muchas gracias.

Answer 1

Permítanme empezar por la segunda pregunta:

El complejo de Rham habitual no es localmente acíclico en grados positivos, en ninguna de las topologías (analítica (= de subconjuntos racionales), étale, pro-étale, ...). El problema es que los espacios rígido-analíticos no son "localmente contractibles". Por ejemplo, en el anillo $$ \mathbb T = \{x \mid |x|=1\} $$ (correspondiente al álgebra $\mathbb C_p\langle x^{\pm 1}\rangle$ ), el diferencial $\frac 1x dx$ no puede integrarse en ningún subconjunto abierto que contenga el punto de Gauss (un punto adic o Berkovich); de hecho, lo mismo ocurre con cualquier mapa (pro-)étale cuya imagen contenga el punto de Gauss. El problema es que la serie de logaritmos no converge con respecto a la norma de Gauss (y cualquier admisible cobertura del espacio rígido-analítico contendrá el punto de Gauss). Más intuitivamente, el problema es que no se pueden cubrir admisiblemente las variedades rígido-analíticas mediante bolas.

(Otro punto menor es que el núcleo de la diferencial en $\mathcal O_X$ es en realidad mayor que la gavilla constante $\mathbb Q_p$ es el cierre integral de $\mathbb Q_p$ en $\mathcal O_X$ es decir, pueden aparecer localmente extensiones de campo no triviales).

El complejo de Rham del Corolario 6.13 es isomorfo al complejo continuo de Rham para $\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+[[t_1,\ldots,t_d]]$ sobre las constantes $\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ En otras palabras, para $d=1$ $$ 0\to \mathbb B_{\mathrm{dR}}^+[[t]]\buildrel{\nabla_t}\over\longrightarrow \mathbb B_{\mathrm{dR}}^+[[t]] dt\to 0\ . $$ En efecto, sabemos que la diferencial desaparece por definición en $\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ y $t$ corresponde al elemento $T\otimes 1 - 1\otimes [T^\flat]$ el segundo término es eliminado por el diferencial, y el primer término pasa a $dT$ que es el elemento base canónico para $\Omega^1_X$ . Por la regla de Leibniz y la continuidad, esto determina la diferencial.

Pero para cualquier $\mathbb Q$ -Álgebra $R$ el complejo continuo de Rham para $R[[t_1,\ldots,t_d]]$ en $R$ es acíclico en grados positivos, con constantes iguales a $R$ .

Lo que puede resultar un poco confuso es que este lema de Poincaré sólo está relacionado de forma bastante indirecta con el complejo de Rham habitual; hay que extender los escalares a $\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ y hacer una terminación divertida. Después de esta terminación, se llega por alguna razón (Proposición 6.10) al complejo de Rham para un álgebra formal de series de potencia, y eso es fácil.

Edición: Me he dado cuenta de que puede ser útil (o al menos divertido) explicar lo que ocurre en el ejemplo del primer párrafo. Además de la variable geométrica llamada $x$ en el primer párrafo (correspondiente a $T$ más tarde), la gavilla $\mathcal O\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ también contiene la variable "aritmética $[x^\flat]\in \mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ (después de la portada pro-étale de elegir todos $p$ -raíces de poder de $x$ ). El elemento $\frac x{[x^\flat]}$ está cerca de $1$ en $\mathcal O\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ (como en $\theta$ se asigna a $1$ como los dos $x$ y $[x^\flat]$ mapa a $x\in \hat{\mathcal O}_X$ ). Por lo tanto, la función $$ \log(\tfrac x{[x^\flat]})\in \mathcal O\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+ $$ converge. Intuitivamente, $\log(\frac x{[x^\flat]}) = \log(x) - \log([x^\flat])$ pero ninguno de los dos términos tiene sentido por separado. Sin embargo, como $[x^\flat]\in \mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ es constante, el diferencial de $\log(\frac x{[x^\flat]})$ está de acuerdo con $d\log(x) = \frac 1x dx$ , según se desee.

Por lo tanto, en un sentido vago, necesitamos ampliar los escalares a $\mathbb B_{\mathrm{dR}}^+$ para obtener una segunda copia aritmética $\log([x^\flat])$ de la función $\log(x)$ que nos importa, y luego su diferencia $\log(\frac x{[x^\flat]})$ converge en una terminación adecuada. (Por cierto, el pequeño error en el artículo se refería a la definición correcta de esta terminación).