Supongamos que $X$ es un complejo CW de dimensión $n$ . Si $e_i$ es un $n$ -célula entonces es $H_n(X) \to H_n(X, X \setminus e_i)$ ¿el mapa cero?

Question

Supongamos que $X$ es un complejo CW de dimensión $n$ . Si $e_i$ es un $n$ -célula entonces es $H_n(X) \to H_n(X, X \setminus e_i)$ ¿el mapa cero? Si no, entonces es $H_n(X, X\setminus e_i) \to H_n(X, X \setminus \{x\})$ el mapa cero donde $x$ es un punto en el interior de $e_i$ ?

No puedo demostrar ninguna de las dos cosas, sospecho que la prueba se reduciría a algún hecho sobre la homología de los complejos CW que desconozco.

Por si sirve de algo, estas afirmaciones son relevantes para una prueba que estoy leyendo en la que $X$ es una variedad compacta de dimensión $n$ admitiendo una estructura CW y una homología con $\mathbb{Z}_2$ se toman los coeficientes.

Answer 1

No, toma $X = S^n = e_0 \cup e_n$ como contraejemplo. El mapa $H_n(X) \to H_n(X, X \setminus \{x\})$ es un isomorfismo.

De forma más general, su mapa $X \to X/(X \setminus e_n) \cong S^n$ es un mapa celular. Induce un mapa en cadena $f: C_*^{CW}(X, *) \to C_*^{CW}(S^n, *) = \Bbb Z[n]$ donde esta última notación significa que tenemos una copia de los enteros en grados 0 y n y ninguna diferencial. El mapa $f$ colapsa todos los generadores excepto $e_n$ .

Si $c = \sum c(j) e_n^j$ es una suma de n celdas con digamos $e_n^0 = e_n$ es la fija en lo discutido anteriormente, entonces $f(c) = c(0)$ . Si $f$ es cero en la homología entonces todo ciclo tiene $c(0) = 0$ ; si $f$ es distinto de cero en la homología hay algún ciclo con $c(0) \neq 0$ .

Juntando todo esto tu mapa es cero en homología si y sólo si $\partial e_n$ no es una suma de límites de otras celdas. No estoy seguro si esto es lo que buscas, es más o menos por definición.

Answer 2

Tengo una respuesta que no requiere saber mucho sobre la homología de los complejos CW, pero requiere un poco más de trabajo. Vamos a ver las secuencias largas exactas de los pares que mencionas.

En primer lugar, tenemos un ejemplo sencillo para su primera pregunta que podría iluminar el caso general. Dejemos que $X = S^2$ con estructura CW dada por una $0$ -célula, una $1$ -(con un mapa de fijación constante), y dos $2$ -células $e_1$ y $e_2$ que dan cada uno de los hemisferios. A continuación, $X \smallsetminus e_1$ es una semiesfera (abierta) (es decir, el interior de $e_2$ ), y $H_2(X, X\smallsetminus e_1)$ por escisión es isomorfo a $H_2(e_2/\partial e_2)$ que está libre de rango $1$ . Esto significa que la secuencia exacta larga para el par $(X, X \smallsetminus e_1)$ es

$\cdots \to H_2(X \smallsetminus e_1) \to H_2(X) \to H_2(X, X \smallsetminus e_1) \to H_1(X \smallsetminus e_1) \to \cdots$

Ahora, $X \smallsetminus e_1$ es contractible, por lo que la exactitud nos dice que el mapa $H_2(X) \to H_2(X, X\smallsetminus e_1)$ es un isomorfismo de rango libre- $1$ grupos abelianos. Por lo tanto, no es el mapa cero.

¿Y su segunda pregunta? Una estrategia para resolverla en general $X$ puede ser considerar las secuencias largas exactas para $(X, X \smallsetminus e_i)$ y $(X, X \smallsetminus *)$ (Utilizaré $*$ para indicar $\{ x\}$ ), y utilizar la naturalidad de las secuencias con respecto al mapa de pares $f: (X, X\smallsetminus e_i) \to (X, X\smallsetminus *)$ inducido por la identidad, y quizás la naturalidad nos diga cómo $f_*$ se comporta.

En este caso, tenemos dos largas secuencias exactas conectadas por $f_*$ cuya parte relevante es

$\require{AMScd} \begin{CD} H_n(X \smallsetminus e_i) @>>> H_n(X) @>>> H_n(X, X \smallsetminus e_i) @>>> H_{n-1}(X \smallsetminus e_i) \\ @Vf_*VV & @V1VV @V{f_*}VV @VVf_*V & \\ H_n(X \smallsetminus *) @>>> H_n(X) @>>> H_n(X, X \smallsetminus *) @>>> H_{n-1}(X \smallsetminus *) \end{CD}$

Ahora, considere la situación en la que $X$ tiene un único $n$ -célula; esto significa que $X \smallsetminus e_i$ y $X \smallsetminus *$ deformación se retraen a la $(n-1)$ -esqueleto de $X$ por lo que los dos grupos de la izquierda desaparecen ya que $H_n$ de un $(n-1)$ -El complejo CW de dimensión es siempre cero. La exactitud nos dice que los mapas $H_n(X) \to H_n(X, X\smallsetminus e_i)$ y $H_n(X) \to H_n(X, X\smallsetminus *)$ son al menos inyectivas, y la conmutatividad del cuadrado central implica que $f_*$ no puede ser el mapa cero. Si utilizamos el ejemplo $X = S^n$ con la estructura habitual de CW (una sola célula cero y una sola $n$ -), todos los grupos de la izquierda y de la derecha desaparecen y terminamos con un cuadrado conmutativo donde todos los mapas se ven inmediatamente como isomorfismos además de $f_*$ pero de ahí se deduce que $f_*$ es un isomorfismo.

Esta respuesta es quizás un poco más complicada de lo necesario (ver el comentario que explica por qué $f_*$ es siempre un isomorfismo), pero espero que este enfoque también sea útil para ver. En la situación en la que se tiene un colector compacto y se utiliza $\mathbb{Z}_2$ coeficientes, siempre es posible tener una estructura de CW en la que se tiene un único $n$ -por lo que siempre estamos en la situación anterior; si quieres utilizar coeficientes enteros sólo tienes que añadir la hipótesis de que $X$ está orientado.