El axioma de la elección dice:
El producto de una colección de conjuntos no vacíos es no vacío.
Como bien sabes, este axioma es equivalente a muchas otras afirmaciones. Algunos ejemplos (probablemente los más conocidos) son los siguientes:
- El lema de Zorn: Dejemos que $(P,\ge)$ sea un poset en el que cada cadena tiene un límite superior. Entonces $P$ tiene un elemento máximo.
Esto se utiliza en varios lugares para demostrar teoremas muy potentes. Un par de ejemplos que se me ocurren ahora mismo son: la prueba de que todo anillo tiene un ideal máximo (álgebra conmutativa) y el Teorema de Hahn-Banach (análisis funcional).
- Teorema de la ordenación del pozo: Todo conjunto puede estar bien ordenado (es decir, admite un orden total tal que cada subconjunto tiene un elemento mínimo).
- Teorema de Tychonoff: Todo producto de espacios topológicos compactos es compacto.
Esto se utiliza, por ejemplo, en la prueba de Teorema de Alaoglu (de nuevo análisis funcional).
Wikipedia da varios más. Entre ellas:
- Teorema de Tarski: Si $A$ es un conjunto infinito, entonces existe una biyección $A\to A\times A$ .
(Como comentó @Wicht, el teorema de Tarski es el nombre dado a la implicación $|A|=A\times A \Rightarrow$ Axioma de elección, mientras que la otra implicación era conocida antes de la demostración de este hecho por Tarski).
- Todo espacio vectorial tiene una base.
Mi pregunta es: ¿qué otras afirmaciones útiles son equivalentes al axioma de elección? ¿Dónde se utilizan y para demostrar qué?
P.D: Por "enunciados útiles" me refiero a enunciados que son teoremas importantes por sí mismos (como el teorema de Tychonoff) o que se utilizan directamente en (versiones simples de) la demostración de teoremas importantes (como el lema de Zorn).
