¿Son equivalentes estas afirmaciones? (teorema de la matriz invertible)

Question

De repente, tengo una pregunta sobre el teorema de la matriz invertible.

Entre los muchos enunciados equivalentes sugeridos en mi texto de lin-alg, estoy confundido sobre si el enunciado 'La ecuación Ax=b tiene "al menos" una solución para cada b en R^n.' es equivalente o no al enunciado 'A es una matriz invertible.' (A es una matriz n por n)

La frase "al menos" en la afirmación anterior implica, por supuesto que lo saben, que está bien cuando hay más de una solución de la ecuación.

Sin embargo, creo que "al menos" debería corregirse como "sólo" para que LA afirmación sea equivalente a la diferente pero que tiene la misma media con "la transformación lineal x a Ax es uno a uno".

Si tengo un concepto erróneo, hazme saber qué es lo que me falta.

Answer 1

La afirmación es que $Ax=b$ tiene que tener soluciones para cada $b$ , lo que significa que $Ax=e_i$ es soluble para cada uno de los elementos de base estándar $e_i$ . ¿Ves cómo esto implica que $A$ ¿es invertible? De hecho, esto implica que hay una solución única para cada $b$ .

Answer 2

Suena falso, pero en realidad es correcto. Si $A$ no es invertible, entonces se puede encontrar un lado derecho tal que no hay solución al sistema lineal. En otras palabras, es imposible construir una matriz $A$ tal que hay infinitas soluciones para todos los $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n$ . De hecho, si hay un lado derecho $\mathbf{b}_0$ que admite infinitas soluciones, entonces para cada lado derecho posible $\mathbf{b}$ se tienen infinitas o cero soluciones, y para al menos una (de hecho, un subespacio dimensional no trivial de $\mathbb{R}^n$ ) el sistema no tiene solución.