Probar la transitividad en la relación: $aRb=7\mid |a-b|$

Question

Probar la transitividad en la relación: $aRb=7|(|a-b|)$ Así que $aRb\, \wedge bRc\implies aRc$

Lo que he probado:

$$7k =|a-b| $$ $$7l=|b-c|$$ $$l,k\in\mathbb{Z}$$

Ahora he elevado al cuadrado las dos ecuaciones y he restado la de arriba de la de abajo: $$49(l^2-k^2)=(b-c)^2-(a-b)^2 =c^2-2b(a-c)-a^2\neq|a-c|^2$$

Veo que este enfoque no funciona, ya que no puedo obtener la raíz cuadrada de la distancia entre $a$ y $c$ para que $\sqrt{49(l^2-k^2)}$ sería un número racional para todos los $l$ y $k$ (por ejemplo, podríamos tener $l=3$ y $k= 2,$ y obtenemos $7\cdot\sqrt{5}\notin\mathbb{Q}$ ), por lo que mi ecuación anterior no implica que la transitividad no exista.

Mi pregunta es ¿cuál sería la mejor manera de probar si existe o no?

Answer 1

Quieres ver que $aRc$ Es decir $7$ divide $|a-c|$ . Por hipótesis $7k=a-b$ y $7l=b-c$ (puede hacerlo eligiendo $k,l$ de $\mathbb{Z}$ ). Entonces: $$a-c=a-b+b-c=7k+7l=7(k+l)\rightarrow |a-c|=7|k+l|$$

Answer 2

Enfoque alternativo:

Quiere demostrar que

$$\{ ~( ~7 ~| ~|a-b| ~) \wedge ~( ~7 ~| ~|b-c| ~) ~\} ~~\implies ~~ ~( ~7 ~| ~|a-c| ~).$$

Tenga en cuenta que

• O bien $~|a - b| = (a-b)~$ ou $~|a - b| = (-1) \times (a-b).$
• O bien $~|b - c| = (b-c)~$ ou $~|b - c| = (-1) \times (b-c).$
• O bien $~|a - c| = (a-c)~$ ou $~|a - c| = (-1) \times (a-c).$

Por supuesto, existe $r,s \in \Bbb{Z}$ tal que

• $7r = |a - b|.$
• $7s = |b - c|.$

Definir $R$ para que:

• $R = (r)$ si $|a - b| = (a-b)$ .
• $R = (-r)~~$ Por lo demás.

Definir $S$ para que:

• $S = (s)$ si $|b - c| = (b-c)$ .
• $S = (-s)~~$ Por lo demás.

Entonces,

$$\{ ~[ ~7R = (a-b) ~] \wedge ~[ ~7S = (b-c) ~] ~\} ~~\implies$$

$$[ ~7(R+S) = (a-c) ~: ~(R+S) \in \Bbb{Z} ~].$$

Definir $T$ para que:

• $T = (R+S)$ si $|a - c| = (a-c)$ .
• $T = [-(R+S)]~~$ Por lo demás.

Entonces, $T \in \Bbb{Z}$ y $~~7T = |a - c|.$

Por lo tanto, $~7 ~| ~|a - c|.$