Demostrar que una función no es integrable de Riemann

Question

Dejemos que $m,n \in \mathbb{Z_{+}}$ y que $f(x)=\begin{cases} x^m+x^n \text{ if } x \in [0,1]\cap\mathbb{Q}\\ 0 \text{ if } x \in [0,1] \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$ .

He pensado en una función similar $f(x)=\begin{cases} x^m \ \text{ if } x \in [0,1]\cap\mathbb{Q}\\ 0 \text{ if } x \in [0,1] \setminus \mathbb{Q} \end{cases}$ .

He demostrado que la segunda función no es integrable de Riemann. Intenté producir un argumento similar, pero me dijeron que no era tan sencillo.

Answer 1

Demuestre que el conjunto de puntos de discontinuidad de $f$  lleva toda la masa de $1$ y por lo tanto $f$ no es integrable de Riemann.

En primer lugar, considere $x\in(0,1]\cap \mathbb{Q}$ . Ahora $f(x)=x^{n}+x^{m}:=r>0$ y por lo tanto $0\notin B(f(x),r)$ , donde $B(a,r)$ denota la apertura $r$ -bola de radio alrededor $a$ . Pero $B(x,\epsilon)\cap ([0,1]\setminus\mathbb{Q})\neq\emptyset$ para todos $\varepsilon>0$ Así que $f(B(x,\varepsilon))\not\subseteq B(f(x),r)$ por cada $\varepsilon>0$ , como $f(y)=0$ para todos $y\in [0,1]\setminus\mathbb{Q}$ . Por lo tanto, $f$  no es continua en $x$ .

Considera entonces $x\in [0,1]\setminus\mathbb{Q}$ y una secuencia $(q_{i})_{i=1}^{\infty}\subseteq [0,1]\cap\mathbb{Q}$ para que $q_{i}\to x$ . Ahora $f(q_{i})=q_{i}^{m}+q_{i}^{n}\to x^{m}+x^{n}\neq 0=f(x)$ lo que demuestra que $f$  no es continua en $x$ .

Hemos demostrado que los puntos de discontinuidad de $f$  contiene $(0,1]$ que tiene una medida de Lebesgue de $1$ y por lo tanto $f$  no es integrable de Riemann.

Answer 2

Si es integrable de riemann entonces la integral debe ser $0$ (¿por qué?), así que $\int_{0}^{1} (x^m+x^n)dx=0$ así que $\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}=0$ así que $m+n+2=0$