Intuición sobre el teorema del estabilizador de la órbita

Question

El estabilizador de órbita dice que, dado un grupo $G$ que actúa sobre un conjunto $X$ entonces existe una biyección entre la órbita de un elemento $x\in X$ y el conjunto de cosetas izquierdas del grupo estabilizador de $x$ sur $G$ . En otras palabras, que la cardinalidad de la órbita de un elemento $x\in X$ es igual al índice de su subgrupo estabilizador en $G$ .

He visto dos textos diferentes que presentan esto, y ambos dicen explícitamente que esto capta una idea muy intuitiva. Lo siento si es obvio, pero no veo la intuición detrás de esto.

Ahora he hecho unas cuantas preguntas buscando intuición y he recibido un consejo extraordinario. Por lo tanto, de nuevo, pido a la comunidad que comparta algunas de sus intuiciones sobre esta idea, y cómo piensan en este teorema. Como siempre, cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Introducción

No creo que el estabilizador orbital sea "evidente" u "obvio" en ningún aspecto.

La explicación habitual que está a la venta es ésta. Tomamos un cubo que tiene todas las caras pintadas de un color diferente. Designamos el set elementos las caras de este cubo, 6 en total, y nuestra rotación del cubo ante nosotros las operaciones de grupo.

A continuación, giramos este cubo en el sentido de las agujas del reloj para que veamos sólo la cara amarilla. Estas 4 rotaciones son el estabilizador de la cara amarilla. Cuando giramos el cubo en el sentido de las agujas del reloj y siempre vemos la cara amarilla, entonces decimos que tenemos nuestro elemento del conjunto de caras 'fijo' y nuestras rotaciones no lo cambian.

Conociendo que podemos hacer lo mismo sea cual sea el color de 8 que elijamos inicialmente, entendemos que hay 6 elementos en la órbita, y $6*4 = 24$ rotaciones en nuestro grupo.

El problema

El problema es que tenemos que demostrar nuestro teorema para acciones de grupo generales que no están ligadas a simetrías geométricas, $\cal{R}^3$ . En matemáticas, no podemos visualizar un teseracto, un cubo en 4D, girarlo mentalmente y contar cómo cambian los colores en el proceso. Simplemente no podemos.

Lo que podemos hacer es escribir unas cuantas afirmaciones que se demuestran algebraicamente y enlazarlas esquemáticamente.

Esquema de la prueba

La prueba a grandes rasgos es tomar la fórmula de Lagrange (abajo), sustituir el número de cosetas (o subgrupos) de la izquierda por el orden de la órbita, y ya está. Artin en su Álgebra construye una biyección para ello, pero comentaremos otras cosas.

Fórmula de Lagrange

Llamamos $G$ nuestro grupo de acción, y establecer $S$ los elementos de este grupo $G$ actúa sobre. Nos olvidamos de $S$ durante un segundo y centrarse en $G$ revisamos la fórmula de Lagrange $$\underbrace{|G|}_\text{order of the group}=|G_s| \cdot \underbrace{|G:G_s|}_\text{we have to change this to $ O_S $ and we are done}$$

Todos los cosets de la izquierda tienen el mismo orden y dividen el grupo. Partición significa que si tenemos un elemento de grupo común en dos cosets de la izquierda, entonces estos cosets son iguales.

Prueba con $c \in aH$ y $c \in bH$ entonces $c=ah_1$ y $c=bh_2$ para algunos ${h_1,h_2} \in H$ . Entonces $a=b(h_2 h_1^{-1}) \in bH$ . Del mismo modo, $b \in aH$ con $aH=bH$ .

Igualdad de orden de los cosets significa esto. Mentalmente los cosets podrían representarse de esta manera

$$aH = \{ah_1, ah_2, \dots \} $$ $$bH = \{bh_1, \underbrace{b h_2}_{\text{*}}, \dots \} $$

(*) La composición de elementos del grupo significa que existe algún elemento distinto "uno" del grupo $G$ que representan el producto de $b \cdot h_2$

Los elementos de los cosets de la izquierda son distintos, ya que si $ah_1=ah_2$ tenemos $h_1=h_2$ pero la representación de los cosets de la izquierda puede ser diferente. Por ejemplo, como todos los elementos del grupo tienen inversos, tenemos $aH=a^{-1}H$ trivialmente.

La prueba de Artin

En el texto estándar de álgebra de Artin, la demostración se basa en la función de biyección $\epsilon$ que une cada punto de la órbita con algún coset izquierdo de estabilier, $Gs$ . Así que podemos utilizar la fórmula de Lagrange. El esquema es este.

Vemos la órbita (parte de abajo), construimos la función de biyección para enlazar sus elementos con los cosets izquierdos del estabilizador (parte de arriba) para poder utilizar la fórmula de Lagrange. Punto final.

La intuición

Como hemos demostrado la fórmula de Lagrange de forma algebraica, y hemos construido la biyección de forma algebraica, tenemos que jugar con esta imagen para convencernos de que está bien.

En primer lugar los elementos del grupo de acción inversa del Estabilizador también fijan $s$ . Poner $gs=s$ . Entonces $gs=(g g^{-1})s$ y $s=g^{-1} s$ . Esto significa que si $g_1$ mapas $s \to s'$ entonces esto $g_1$ no puede estar en el estabilizador de $s'$ . Para cada punto de la órbita el número de elementos de su estabilizador es el mismo.

De hecho, si $g_1: s \to s'$ como en la imagen anterior, el podemos enlazar biyectivamente los estabilizadores $G_s$ y $G_{s'}$

$$h \in G_s \to \underbrace{ghg^{-1}}_{\text{**}} \in G_{s'}$$

(**) Este es el estabilizador para $s'$ está compuesto por elementos del grupo $G$ , a saber $\{g,h,g^{-1}\}$ todos tienen inversos, por lo que es una biyección.

Integridad

La parte más importante de la historia es asegurarse de que hemos contado todos los elementos del grupo de acción. No es nuestra tarea realizar el recuento, es decir, mapear cada elemento del grupo de acción $G$ a algún número natural $ 1, 2, 3... $ .

Diferentes órbitas pueden contener diferente número de elementos, así que lo que importa es el producto de $|O_s|$ y $|G_s|$ para un elemento fijo del conjunto.

Elegimos todos los elementos del grupo de acción $G$ , cuenta los elementos en el estabilizador $G_s$ . Los elementos restantes $g \in G$ mapa $s$ a algún otro elemento en su órbita. Sin embargo, sólo contamos $|O_s|$ , no gees que mapean s a su órbita porque podemos tener más gees que eses en la órbita.

Imagina que tenemos dos acciones diferentes $g_1$ y $g_2$ mapa $s \to s'$ . Esto sí es posible.

Elementos del grupo de acción $g_1$ y $g_2$ en la imagen anterior debe tener al menos un elemento de $s \in S$ mapeado de forma diferente. Hay que tener en cuenta que cada $g \in G$ actúa sobre todo elementos de $S$ no sólo en el punto $s$ que arreglamos.

Pero todos los elementos que mapean $s \to s'$ debe estar en el mismo coset izquierdo del estabilizador. Elige $g_1$ y $g_2$ de la imagen anterior, para que $$g_1 s = s' = g_2 s$$ En este caso $$s = \underbrace{(g_1^{-1}g_2)}_{\in G_s}s$$

Por lo tanto, $$g_2s =(g_1g_1^{-1})g_2s = g_1\underbrace{(g_1^{-1}g_2)}_{\in G_s}s$$

Por eso $g_2 \in g_1 G_s $ con un sistema similar de $g_1 \in g_2 G_s $ y $g_1G_s = g_2G_s$ exactamente como queríamos.

Conclusión

Fijación de $s \in S$ se asegura de contar todos los gees. Algunos se quedan en el estabilizador $G_s$ y algunos de ellos mapean $s$ a un punto de la órbita $O_s$ . Acciones que aterrizan $s$ en el mismo elemento de la órbita pertenecen exactamente al el mismo coset izquierdo del estabilizador $G_s$ .

Por la fórmula de Lagrange, todos los cosets izquierdos de un grupo [de acción] tienen el mismo número de elementos. Así que hemos terminado.

De nuevo, la rotación de n-gons regulares en $\cal{R}^3$ está bien para empezar, pero la prueba se compone de unos pocos bloques de construcción, puramente algebraico lemas. Podemos confiar en el teorema porque nos aseguramos de que cada uno de esos bloques es fiable.

Answer 2

Esta no es mi respuesta, pero Gowers explica el teorema del estabilizador de órbita de forma excelente.

Piensa en el grupo simétrico de un cubo. Llama a este grupo $G$ y actúa sobre el cubo. Si quieres saber cuántos elementos hay en $G$ Entonces puedes pensar en ello en dos pasos.

Paso I: Si fijas una cara, hay 4 maneras de mover el cubo porque ahora sólo puedes rotar el cubo. (Estos son los estabilizadores )

Paso II: Hay seis posibles opciones donde puede ir esta cara. (Órbita de la cara).

Así que te das cuenta de que $|G|=4\cdot 6$ . Esa es la intuición.

Answer 3

El enunciado del teorema que yo conozco dice que si se hace una partición $G$ en cosets de algunos $G_x,$ entonces obtenemos un isomorfismo de $G$ -sets $G/G_x\to O(x),aG_x\mapsto a\cdot x.$

Esta es mi ingenua forma de pensar al respecto. Dado un $G$ -espacio $X$ y finito $G,$ el teorema del estabilizador de la órbita implica el "teorema del recuento" $|G_x||O(x)|=|G|.$ Dado que el tamaño de $G$ es fija, esto nos está diciendo que cuanto más grande es la órbita, menos elementos de $G$ puede arreglar $x,$ mientras que cuanto más pequeña sea la órbita, más elementos de $G$ debe arreglar $x.$ Esto parece bastante intuitivo, pero no es obvio. Por ejemplo, podríamos pensar que es posible que $|O(x)|$ es pequeño, mientras que muchos elementos de $G$ actúan de forma no trivial pero de la misma manera en $x.$ El teorema del estabilizador de la órbita no permite esto, permitiéndonos determinar el tamaño del estabilizador a partir del tamaño de la órbita correspondiente, y viceversa.

Answer 4

Me doy cuenta de que esta es una pregunta muy antigua, pero la encontré a partir de las preguntas relacionadas en esta pregunta Y mi intuición para el estabilizador de órbita no se refleja en ninguna de las respuestas aquí, así que pensé en añadir esta respuesta para los futuros lectores.

Mi intuición

El estabilizador orbital es una versión del primer teorema del isomorfismo para $G$ -sets.

Esta es mi justificación. Deja que $X$ ser un $G$ - conjunto. Sea $x\in X$ y que $O(x)$ denotan la órbita de $x$ en $G$ .

Definir $\phi : G\to O(x)$ por $\phi(g)=gx$ . $\phi$ es $G$ -equivariante, ya que $$\phi(gh)=ghx=g(hx)=g\phi(h).$$

Entonces el "núcleo" de $\phi$ es $\newcommand\Stab{\operatorname{Stab}}\Stab_G(x)$ en el sentido de que $\phi(g)=\phi(e)$ si y sólo si $g\in \Stab_G(x)$ . (Por supuesto, no se trata de un núcleo en el sentido habitual de la palabra, sino de un núcleo a efectos de mi analogía).

La razón por la que esto es útil es que $\phi(g_1)=\phi(g_2)$ si y sólo si $\phi(g_2^{-1}g_1)=\phi(e)$ si y sólo si $g_1\Stab_G(x)=g_2\Stab_G(x)$ . Así, las fibras de $\phi$ son los cosets del "núcleo". Así, $\phi$ induce una $G$ -bipartición equivariante $G/\Stab_G(x)$ a $O(x)=\newcommand\im{\operatorname{im}}\im\phi$ .

Para mí esto es directamente análogo a cómo cuando $\psi:G\to H$ es un homomorfismo de grupo, $\psi$ induce un isomorfismo de $G/\ker \psi \to \im \psi$ .

Answer 5

¿El intuitivo?

Estabilizador $G_x$ es un coset que contiene elementos que mapean $x \rightarrow x$ Así que, aparte de esos elementos $y \nsubseteq G_x$ Debe ser $y.x = o \neq x$ y junto con los elementos de $G_x$ son exactamente la órbita de $x$ .

Pero hay que tener en cuenta que dos elementos de $y$ , digamos que $g$ y $h$ formaría el mismo elemento en la órbita de $x$ si:

$g.x = h.x; (h^{-1} g).x = x; h^{-1}g \in G_x$ ,

al igual que si están en el mismo coset de $G_x$ . En otras palabras, los elementos que forman una órbita como $g$ y $h$ se comportan como cosets.

Así tenemos el número de elementos en la órbita de $x$ es igual a $|G : G_x|$ .