Diferencia de las raíces enésimas frente a la raíz enésima de la diferencia

Question

Demuestre que para $n \ge 1, x>y \ge 0$ se cumple la siguiente desigualdad: $x^{1\over n}-y^{\frac{1}{n}} \le (x-y)^{\frac{1}{n}}$ . He probado a comparar el $n$ -enésimas potencias de ambos lados de la ecuación utilizando el teorema del binomio, pero se atascó en el proceso.

Answer 1

Con $t:=(y/x)^{1/n}\in[0,1)$ se puede reescribir

$$1-t\le(1-t^n)^{1/n}$$ o

$$(1-t)^n\le1-t^n.$$

Esto es obvio por

$$(1-t)^n\le1-t\le1-t^n.$$