Resuelve: $ (y^2+ 2x^2y)dx + (2x^3 - xy)dy = 0 $

Question

Resuelve:

$$ (y^2+ 2x^2y)dx + (2x^3 - xy)dy = 0 $$

He intentado resolver la ecuación diferencial de la siguiente manera, pero no consigo llegar a la solución correcta. La solución correcta es:

$$ 4(xy)^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3}(x/y)^{\frac{3}{2}} = C $$

Por favor, ayúdenme a identificar mi error en la solución.

RECTIFICACIÓN:

Answer 1

$$(y^2+2x^2y)dx+(2x^3−xy)dy=0$$ $$(y+2x^2)ydx+(2x^2−y)xdy=0$$ No es de la forma $$f_1(xy)ydx+f_2(xy)xdy=0$$ Así que no se puede utilizar ese método para esta ED

Ten cuidado Soumee. $(y+2x^2)$ es una función $f(x,y)$ Pero no es una función de la forma $f(xy)$

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Editar

El factor integrador $\mu(x,y)=x^{-5/2}y^{-1/2}$ propuesto por @Soumee: $$y(ydx-xdy)+2x^2dxy=0$$ Multiplicar por IF $x^{-5/2}y^{-1/2}$ $$x^{-5/2}y^{-1/2}y(ydx-xdy)+2x^{-5/2}y^{-1/2}x^2dxy=0$$ $$-x^{-1/2}y^{1/2}d\frac {y}{x}+2x^{-1/2}y^{-1/2}dxy=0$$ $$-\left (\frac {y}{x} \right )^{1/2}d\left (\frac {y}{x} \right )+2(xy)^{-1/2}d(xy)=0$$ Integrar

Answer 2

Una solución muy sencilla: $$(y^2+ 2x^2y)dx + (2x^3 - xy)dy = 0$$ $$y(ydx-xdy)+ 2x^2(xdy +ydx) = 0$$ $$-y d\left ( \frac {y}x \right )+ 2d(xy) = 0$$ $$-\sqrt y d\left ( \frac {y}x \right )+ \frac 2 {\sqrt y}d(xy) = 0$$ Un factor integrador evidente es $\mu(x)=1/\sqrt x$ $$-\sqrt {\frac y x} d\left ( \frac {y}x \right )+ \frac 2 {\sqrt {xy}}d(xy) = 0$$ Es integrable. $$\frac 13 \left ( {\frac y x} \right)^{\frac 32}-2 {\sqrt {xy}} = C$$