Resuelve la siguiente ecuación diferencial: $y'x^2 = 1+3y$

Question

Resuelve la siguiente ecuación diferencial: $y'x^2 = 1+3y$ , con $y(3) = -\frac{1}3$

He intentado lo siguiente pero estoy un poco perdido al final.

$\frac{dy}{dx}x^2=1+3y$

$\frac{dy}{1+3y}=\frac{dx}{x^2}$

$\frac{1}{3}\ln(1+3y)=-\frac{1}{x}+c$

$\ln(1+3y)=-\frac{3}{x}+c$

$(1+3y)=e^{-\frac{3}{x}}e^c$

$y=\frac{(e^{-\frac{3}{x}}k)-1}{3}$

Bueno... aquí no sé cómo acabar con el problema.

Answer 1

Tú has hecho todo el trabajo duro.

Sólo hay que poner $x=3, y=-\frac13$ y resolver para $k$ .

Answer 2

Esto es lo primero que debe comprobar con la separación, lo que debe tratar por separado para excluir la división por cero. Aquí estos son los valores $x=0$ y $y=-\frac13$ . Entonces establece que $y(x)=-\frac13$ es efectivamente una solución -constante-.

Answer 3

Ha encontrado correctamente que $$y = \frac{e^{-3/x}k - 1}{3} = k_2e^{-\frac{3}{x}} - \frac{1}{3}.$$

Esto es lo mejor que se puede hacer sin una condición inicial, es decir $y(0) = \lambda$ para algunos $\lambda$ porque cuando se resuelve una ecuación diferencial como ésta, se resuelve para un familia de soluciones. En este caso, se da que $y(3) = -1/3$ Así que $y(3) = k_2 e^{-3/3} - 1/3 = -1/3$ implica $k_2 = 0$ .

Answer 4

Tiene una variable desconocida ( $k$ ) y una condición inicial. Basta con introducir el CI en la solución general que has encontrado.

$$y(3)=\frac{1}{3}(ke^{-3/3}-1)=-\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow ke^{-1}-1=-1$$ $$\Rightarrow ke^{-1}=0$$ $$\Rightarrow k=0$$

Y así tienes la solución específica

$$y(x)=-\frac{1}{3}$$

Answer 5

$(1+3y)=e^{-\frac{3}{x}}e^c$

Empieza desde aquí, deja que $~k=e^c~$ sea alguna constante. $$(1+3y)=k~e^{-\frac{3}{x}}$$ Introduzca la condición inicial $y(3)=-\frac{1}3$

$$\Rightarrow ~0=k~e^{-1}\Rightarrow k=0\Rightarrow 1+3y=0$$

Por lo tanto, la solución final es:

$$y=-\frac{1}{3},~~~~x\in(0,\infty)$$

Nota ya que $x=0$ es una singularidad de la ecuación diferencial original, la solución existe en $(-\infty, 0)$ ou $(0, \infty)$ . Pero su condición inicial está en $x=3$ lo que significa que usted elige el $(0, \infty)$ para el dominio de $x$ .