Encontré dos sistemas de raíces diferentes de $sl(3,\mathbb C)$ en Internet.
La primera: 
Y la segunda:
Creo que deberían ser iguales. Entonces... ¿cómo puedo ver que estos sistemas de raíces son isomórficos?
Respuesta
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En $\mathfrak{sl}_3$ el toro estándar $\mathfrak{h}$ está atravesado por los coroots $H_1=E_{11}-E_{22}$ y $H_2=E_{22}-E_{33}$ . Las raíces son $\alpha_1=\epsilon_1-\epsilon_2$ y $\alpha_2=\epsilon_2-\epsilon_3$ donde el $$\epsilon_i:\{\mbox{Diagonal matrices}\}\to\mathbb{C}$$ son funciones lineales dadas por $\epsilon_i(E_{jj})=\delta_{ij}$ . Escribir $$\epsilon_1=(1,0,0),\;\;\;\epsilon_2=(0,1,0),\;\;\;\epsilon_3=(0,0,1)$$ se obtiene la segunda realización del sistema de raíces anterior: $$ \alpha_1=(1,-1,0),\;\;\;\alpha_2=(0,1,-1),\;\;\;\alpha_1+\alpha_2=(1,0,-1).$$
Por otro lado, podemos realizar $\alpha:\mathfrak{h}\to\mathbb{C}$ por cómo actúa en $H_1$ y $H_2$ . Es decir, podemos escribir $\alpha=(\alpha(H_1),\alpha(H_2))$ . Tenemos \begin{align*} \alpha_1(H_1)&=2 &\alpha_2(H_1)&=-1\\ \alpha_1(H_2)&=-1&\alpha_2(H_2)&=2 \end{align*} De este modo, podemos escribir $\alpha_1=(2,-1)$ , $\alpha_2=(-1,2)$ y $\alpha_1+\alpha_2=(1,1)$ . Este no es exactamente el sistema de raíces de arriba (es un $90^\circ$ rotación de la misma). No he leído con demasiada atención las notas asociadas, pero la diferencia parece reducirse a una elección diferente de la base para $\mathfrak{h}$ .
