Definición de vecindad y conjunto abierto en topología

Question

Soy estudiante de Física y acabo de empezar a estudiar Topología. Cómo se define vecindad y conjunto abierto en Topología.Wikipedia da una definición circular.

Un conjunto abierto se define como sigue.

En topología, un conjunto se llama conjunto abierto si es una vecindad de cada punto

Mientras que un barrio se define como sigue:

Si $X$ es un espacio topológico y $p$ es un punto en $X$ , un barrio de $p$ es un subconjunto $V$ de $X$ que incluye un conjunto abierto $U$ que contiene $p$

que a su vez contiene el término conjunto abierto.

¿Cómo se define exactamente?

Answer 1

Uno de los problemas de la introducción de los estudiantes a la topología es que los axiomas de conjunto abierto se toman a menudo como LA definición de una topología, cuando son bastante poco intuitivos, aunque extremadamente útiles a largo plazo. Yo sostengo que la definición de vecindad, aunque es algo engorrosa, tiene la ventaja de estar estrechamente relacionada con ideas del análisis, y tiene una base histórica; por supuesto, es la siguiente:

A topología de vecindad en un conjunto $X$ asigna a cada elemento $x \in X$ un conjunto no vacío $\mathcal N(x)$ de subconjuntos de $X $ , llamado barrios de $x$ con las propiedades:

1. Si $N$ es una vecindad de $x$ entonces $x \in N$ .

2. Si M es una vecindad de $x$ y $M \subseteq N \subseteq X$ entonces $N$ es una vecindad de $x$ .

3. La intersección de dos barrios de $x$ es un vecindario de $x$ .

4. Si $N$ es una vecindad de $x$ entonces $N$ contiene un barrio $M$ de $x$ tal que $N$ es una vecindad de cada punto de $M$ .

Entonces se dice una función $f: X \to Y$ es continuo wrt barrios en $X$ y $Y$ si para cada $x \in X$ y el vecindario $N$ de $f(x)$ hay un barrio $M$ de $x$ tal que $f(M) \subseteq N$ . La definición de continuidad de los conjuntos abiertos se justifica entonces como equivalente a esta definición en términos de vecindad.

También se dice que un conjunto $U$ en $X$ es Abrir si $U$ es una vecindad de todos sus puntos.

ENTONCES se pueden desarrollar los axiomas de conjunto abierto y demostrar que se pueden recuperar las vecindades.

Los estudiantes deben ser conscientes de que hay muchos enfoques de la noción de topología, cuyas ventajas deben ser comparadas. No debe haber un enfoque de "tómalo o déjalo", sino que hay que animar a los estudiantes a formarse un juicio, en cuanto al carácter de la teoría y sus métodos. Y ver qué definición es la adecuada en cada caso.

14 de junio: El planteamiento anterior se recoge en mi libro Topología y Groupoides para motivar la definición de conjunto abierto.

17 de noviembre de 2016. Peter Freyd escribe en la introducción de su libro Categorías abelianas

"Si la topología se definiera públicamente como el estudio de las familias de conjuntos cerrados bajo intersección finita y uniones infinitas se estaría perpetrando un grave perjuicio a los estudiantes embrionarios de topología. La corrección matemática de tal definición no revela nada sobre la topología, excepto que sus axiomas básicos pueden hacerse bastante simples. Y con la teoría de categorías nos enfrentamos al mismo problema pedagógico. ......

Una descripción mejor (aunque no perfecta) de la topología es que es el estudio de los mapas continuos; y la teoría de las categorías también se describe mejor como la teoría de los funtores. Ambas descripciones son lógicamente inadmisibles como definiciones iniciales, pero reflejan con mayor precisión tanto las motivaciones actuales como las históricas de los temas."

También me gustaría hacer referencia a las observaciones de Bill Lawvere de que la noción de espacio en las matemáticas es crucial para la representación del movimiento. Esto se ilustra en esta conferencia Fuera de línea En particular, la sección y el vídeo sobre el movimiento.

26 de enero de 2020

Me gustaría añadir otra referencia, a "Pensamientos Indiscretos" de G-C Rota. Él contrasta un definición con un descripción (p.48). El libro tiene muchos otros puntos importantes.

2 May, 2020 También mencionaré que una topología también puede ser axiomatizada en términos de la operación de cierre, así como en términos de Int y de Ext. Los estudiantes deben ser animados a pensar y evaluar, y no sólo aceptar un punto de vista autoritario. (hay un volumen de Progress in Commutative Algebra 2, Closures, Finiteness and Factorization, con cuatro editores, publicado por de Gruyter en 2012, 328 páginas, y disponible en línea; el Prefacio tiene algunos buenos comentarios sobre las analogías en matemáticas).

13 de mayo de 2020 También debería añadir la noción de filtrar y ese enlace para más detalles, a las formas de axiomatizar los espacios topológicos, y más.

Answer 2

Se define una topología sobre un conjunto especificando los conjuntos abiertos.

Dejemos que $X$ sea un conjunto. Si $\tau$ es una familia de conjuntos con las siguientes propiedades, se llama topología.

• $X$ y $\varnothing$ están en $\tau$
• Cualquier unión (posiblemente infinita, incluso incontablemente infinita) de conjuntos en $\tau$ está en $\tau$ .
• La intersección de cualquier número finito de elementos de $\tau$ está en $\tau$ .

Llamamos a los conjuntos en $\tau$ los conjuntos abiertos. Puedes ver que la colección de conjuntos abiertos en, por ejemplo, $\mathbb{R}^2$ tiene exactamente este conjunto de propiedades.

Una vecindad de un conjunto $S$ es un conjunto $P$ que contiene un conjunto abierto $U$ así que $S\subset U\subset P$ .

Para más información, consulte Topología por Munkres.

Answer 3

Para complementar las otras respuestas, que te dicen cuál es la definición normal de conjunto abierto en una topología, voy a dar otra posibilidad para la definición de vecindad en un espacio métrico (ten en cuenta que esto no tendrá sentido para los espacios topológicos generales, pero creo que es lo que motiva la definición de conjunto abierto que has dado).

Para un punto $p$ en un espacio métrico $(X,d)$ digamos que un subconjunto $U\subset X$ es una vecindad de $p$ si existe $\varepsilon>0$ tal que $B(p,\varepsilon)=\{x\in X:d(x,p)<\varepsilon\}$ es un subconjunto de $U$ . Ahora la definición de conjunto abierto que has dado coincide con la habitual para los espacios métricos.

Answer 4

Normalmente, se define un conjunto para ser abierto en un espacio $X$ si y sólo si está en la topología $T$ de $X$ .

Por ejemplo, puede tomar $X = \mathbb R$ y dotarlo de lo que se llama la topología trivial, $T = \{ \varnothing, X = \mathbb R\}$ . Entonces los únicos conjuntos abiertos en este espacio son $\varnothing$ y todo el espacio $\mathbb R$ .

Un ejemplo más común es $X = \mathbb R$ con la topología estándar. Esto es lo que puede ser familiar: se comienza con el conjunto de todos los intervalos $(a,b)$ y luego definir la topología como el conjunto de todas las uniones de estos intervalos.

Entonces se puede definir una vecindad de un punto $x$ para ser un conjunto $N$ tal que existe un conjunto $O \in T$ tal que $x \in O \subset N$ .

Answer 5

Una vez definida la topología, se conocen todos los conjuntos abiertos.

Un "barrio de $x$ " es un conjunto que contiene un conjunto abierto que contiene $x$ . Normalmente sólo pienso en Abrir barrios, pero supongo que algunas personas encuentran usos convenientes para la definición más flexible de un barrio no necesariamente abierto.

En este sentido, $[0,1]$ es una vecindad de $0.5$ pero no es un barrio de $0$ .