Propiedad de descomposición de una isometría de un espacio de Hilbert

Question

Estoy leyendo el libro Fundamentos de la teoría ergódica (versión portuguesa) y agradecería si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre la solución de este ejercicio:

Dejemos que $U:H\to H$ sea una isometría de un espacio de Hilbert. Demostrar que existen subespacios cerrados $V$ y $W$ tal que $U(V)=V$ , iteración de $W$ por $U$ produce una secuencia de subespacios ortogonales que también son ortogonales a $V$ y

$$H=V\oplus \bigoplus _{n=0}^{\infty }U^n\left(W\right)$$

Así que concluimos $U$ es un isomorfismo si y sólo si $W={0}$ .

El libro dice que debo dejar $W=U(H)^\perp$ y $V=(\bigoplus^\infty_{n=0} U^n(W))^\perp$ . De ahí se deduce fácilmente la última propiedad. Pero ¿cómo puedo mostrar todas las iteraciones de $W$ son ortogonales?

Creo que probar este ejercicio sería útil para intuir las diferencias entre isometrías y operadores unitarios.

Answer 1

Está claro que $V$ es ortogonal a $U^n(W)$ para cada $n$ por la definición de $V$ por lo que para comprobar la condición de ortogonalidad, sólo tenemos que comprobar que para $n > m \geq 0$ tenemos que $$U^n(W) \perp U^m(W).$$ Para ello, dejemos que $x,y \in W$ y considerar $\langle U^n x, U^m y \rangle$ . Desde $U$ es una isometría, tenemos que $\langle U^n x, U^m y \rangle = \langle U^{n-m} x, y \rangle$ . Desde $y \in W \perp U(H)$ y $U^{n-m}x \in U(H)$ esto nos dice que $\langle U^n x, U^m y \rangle = 0$ para que $U^n(W) \perp U^m(W)$ como se desee.

Lo único que queda es ver que $U(V) = V$ .

Primero compruebo que $U(V) \subseteq V$ . Para ello, debemos comprobar que para $v \in V$ , $w \in W$ y $n \geq 0$ tenemos que $$\langle U v, U^n w \rangle = 0$$ En el caso $n = 0$ Esto se desprende de la definición de $W$ . Si $n > 0$ entonces $$\langle U v, U^n w \rangle = \langle v, U^{n-1}w \rangle = 0$$ desde $v \in V$ . Por lo tanto, $U(V) \subseteq V$ .

Ahora para la inclusión restante queremos demostrar que si $v \in V$ entonces $v \in U(V)$ . Para ello, primero hay que tener en cuenta que como $v \perp W$ , $v \in U(H)^{\perp \perp} = \overline{U(H)} = U(H)$ donde la última igualdad se deduce ya que $U$ es una isometría de modo que $U(H)$ está cerrado. Por lo tanto, hay un $w \in H$ tal que $Uw = v$ . Queremos comprobar que $w \in V$ . Para ello tome $x \in W$ y observe que $$\langle w, U^n x \rangle = \langle v, U^{n+1}x \rangle = 0$$ donde la primera igualdad es por la propiedad de isometría. Por lo tanto $w \in V$ y así $v \in U(V)$ . Por lo tanto, $U(V) = V$ como se desee.