Un semigrupo finito y cancelable es un grupo

Question

Dejemos que $G$ sea un conjunto finito y no vacío con una operación $*$ tal que

1. $G$ está cerrado bajo $*$ y $*$ es asociativo
2. Dado $a,b,c \in G$ con $a*b=a*c$ entonces $b=c$ .
3. Dado $a,b,c \in G$ con $b*a=c*a$ entonces $b=c$ .

Quiero demostrar que $G$ es un grupo, pero no sé cómo demostrar que existe una identidad $e\in G$ tal que $e*x=x$ y $x*e=x$ $\forall x \in G$ . Tampoco sé cómo mostrar que $\forall$ x $\in G$ existe un $y \in G$ tal que $y*x=e$ y $x*y=e$ . ¿Cómo lo hago?

Answer 1

Escribimos $xy$ para $x*y$ .

Dejemos que $a$ sea un elemento de $G$ y considerar la función $f:G \to G$ , $f(g)=ag$ . Esto es inyectivo por (2), y por lo tanto (ya que $G$ es finito) también debe ser suryente. Por tanto, existe un elemento $e$ de $G$ tal que $f(e)=a$ es decir $a=ae$ .

Queremos demostrar que $e$ es de hecho una identidad de dos caras para $G$ . Así que dejemos $b$ sea un elemento arbitrario de $G$ y considerar $ab=(ae)b=a(eb)$ . Por lo tanto, según (2), $b=eb$ para todos $b$ es decir $e$ es una identidad de izquierda. Para demostrar $e$ también es una identidad correcta, considere $bb=b(eb)=(be)b$ y aplicar (3) para concluir que $b=be$ .

Ahora tenemos que demostrar la existencia de los inversos. Como en el caso anterior, para cada $a$ en $G$ la función $g \mapsto ag$ es suryente, por lo que existe un elemento, $a_R$ digamos, tal que $aa_R=e$ . Del mismo modo, hay un elemento $a_L$ tal que $a_La=e$ . Desde $a_L=a_Le=a_L(aa_R)=(a_La)a_R=ea_R=a_R$ tenemos que $a_L=a_R$ es una inversa de dos lados para $a$ .

Answer 2

Sus tres axiomas no describen un grupo sino un semigrupo con ley de cancelación . Un ejemplo de esta bestia es el conjunto $\mathbb N$ con la adición. No es un grupo.

Sin embargo, se requiere además la finitud. Para demostrar que $(G,*)$ es ahora un grupo, considere lo siguiente: Seleccione $a\in G$ y definir $a^n$ recursivamente: $a^1=a$ , $a^{n+1}=a^n*a$ . La finitud implica que $a^n=a^m$ para algunos $n\ne m$ . Wlog. $n>m$ , digamos que $n=m+k$ con $k>0$ . Entonces $a^{k+1}*a^{m}=a^{n+1}=a^n*a=a^m*a=a^{m+1}=a*a^{m}$ Por lo tanto $a^{k+1}=a$ . Sea $e=a^{k}$ . Entonces $e*a=a*e=a^{k+1}=a$ . Sea $x\in G$ . Desde el $x* y$ , $y\in G$ son distintas por pares, hay una $y$ con $x* y = a$ . De ello se desprende que $$ (e*x)*y = e*(x*y) = e*a = a = x*y,$$ por lo que $e*x=x$ . Desde el $z*x$ , $z\in G$ son distintas por pares, hay una $z$ con $z*x = a$ . De ello se desprende que $$ z*(x*e)=(z*x)*e=a*e=a=z*x,$$ por lo que $x*e=x$ . Así, $e$ es neutral a la izquierda y a la derecha.

Entonces, de nuevo por el $x* y$ siendo distintos, encontramos $y\in G$ tal que $x*y=e$ . Pero también $(y*x)*y=y*(x*y)=y*e=y=e*y$ implica $y*x=e$ es decir, el $y$ encontrado es el inverso izquierdo y derecho de $x$ .

Answer 3

La finitud de $G$ nos permitirá utilizar el principio de encasillamiento para decir para algunos $a\in G$ que hay algo de $e_a\in G$ tal que $a*e_a=a$ . Utilizando la asociatividad de $*$ entonces $(b*a)*e_a=b*(a*e_a)=b*a$ y por el principio de encasillamiento, cada $c\in G$ tiene forma $b*a$ para algunos $b\in G$ para que $e_a$ es un elemento de identidad derecho.

Ahora, toma cualquier $b,c\in G$ y observe que $b*c=(b*e_a)*c=b*(e_a*c)$ por lo tanto, por canceleidad, $c=e_a*c$ para cualquier $c\in G$ . Así, $e_a$ es un elemento de identidad izquierda, también.

La canceleidad nos dice que $e_a$ es (de hecho) el único elemento de identidad de $G$ . Una última aplicación (similar) del principio de encasillamiento y de la cancelabilidad nos dice que para cualquier $b\in G$ hay un único $c\in G$ tal que $c*b=e_a=b*c$ .

Answer 4

Inicio: fijar un elemento $a.$ Tomando todo $x,$ el conjunto de productos adecuados $ax$ será el conjunto completo (son distintos y el conjunto es finito, contamos), por lo que hay algún $x,$ llámalo $x_a$ tal que $a x_a = a.$ A continuación, hay algunos $y_a$ tal que $y_a a = a. $ Hay más trabajo después de esto.

Answer 5

Dado $g \in G$ por la finitud de $G$ y condición $2$ , multiplicación por la izquierda $l_g : G \to G$ por $g$ es una permutación de $G$ . Entonces, por la asociatividad de $*$ el mapa $g \mapsto l_g$ es un homomorfismo del magma. Por la condición $3$ Este mapa es una inyección. Así, el magma $G$ puede ser incrustado en $S_{|G|}$ . Dado que cualquier subconjunto no vacío de cualquier grupo finito, que es cerrado bajo la multiplicación es un subgrupo, $G$ es un subgrupo de $S_{|G|}$ .

Esta prueba también muestra que podemos debilitar la hipótesis de cancelación correcta con: Si $g$ , $h \in G$ satisfacer $gx = hx$ para todos $x \in G$ entonces $g = h$ .