¿Cuál es el significado de $||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}$

Question

Entiendo que una norma asigna una longitud a cada vector en un espacio vectorial.

Me han dicho que $$||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}$$ es una norma. Entonces esta ecuación encuentra la longitud del vector $x$ y qué hacen los $x$ ¿Implica la raíz cuadrada?

¿Son sólo los puntos inicial y final del vector $x$ ?

Answer 1

La notación $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ se utiliza para denotar el producto interior que en el espacio euclidiano es esencialmente el producto punto . Utilizando la definición de producto punto en el caso del producto interior de un vector $\mathbf{v}$ y a sí mismo, $$\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v_x^2+v_y^2+\cdots$$ Obsérvese que se trata simplemente de la magnitud de $\mathbf{v}$ al cuadrado, debido al teorema de Pitágoras: $$\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=\langle v,v\rangle\to\sqrt{\langle v,v\rangle}=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}=||\mathbf{v}||$$

---

Para dos vectores $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ el producto punto-punto es simplemente el producto de sus magnitudes multiplicado por $\cos\theta$ , donde $\theta$ es el ángulo entre los dos vectores. Cuando $\mathbf{a}=\mathbf{b}$ , $\theta=0$ y, por tanto, el resultado es simplemente la magnitud del vector al cuadrado, que se suele representar como la "longitud" del vector al cuadrado.

¿Son sólo los puntos inicial y final del vector x?

No. Se refieren a la magnitud del vector $\mathbf{x}$ .

Esta es una representación geométrica que Piwi sugirió :

Answer 2

En su caso $\langle x,x\rangle$ es el producto escalar del vector $x$ con ella misma.

Answer 3

Puede ver un vector en $\mathbb{R}^n$ como un segmento orientado en $n$ -espacio dimensional que parte del origen y llega hasta el punto $X$ de coordenadas $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ . Así que el producto interior $\langle x,x\rangle$ es :

$$ \langle x,x\rangle= x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 $$ y $\sqrt{\langle x,x\rangle}$ es la longitud pitagórica habitual del segmento desde el origen hasta $X$ .

Esta es la intuición geométrica que hay detrás del concepto de norma que se extiende, en esta forma ligada a un producto interior, a cualquier espacio que tenga un producto interior.

Answer 4

Probablemente te refieras al producto interno $\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol x \rangle$ .

Si tienes dos vectores $\boldsymbol a = (a_1,a_2,\dots ,a_n)$ y $\boldsymbol{b} = (b_1,b_2,\dots,b_n)$ entonces el producto interno $\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$ se define como $$\langle \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = \sum^n_{i=1}a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n.$$

Tenga en cuenta que $\langle \boldsymbol x, \boldsymbol x\rangle = \sum^n_{i=1} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots +x_n^2$ . Si se toma la raíz cuadrada de $\langle \boldsymbol x , \boldsymbol x\rangle$ se obtiene la longitud del vector $\boldsymbol x$ desde el origen (nótese el parecido con el teorema de Pitágoras).