¿Esta prueba involucra a los tensores entre $R$ -¿módulos correctos?

Question

Dejemos que $k$ sea un campo arbitrario, $R = k[X,Y]$ un anillo polinómico y $\mathfrak{m} = (X,Y)$ un ideal. Consideremos $R$ y $\mathfrak{m}$ como $R$ -módulos. Quiero demostrar que si $f:M\rightarrow M'$ es un inyectivo $R$ -homomorfismo de módulo, que $f\otimes \operatorname{Id}: M\otimes_R \mathfrak{m}\rightarrow M'\otimes_R\mathfrak{m}$ es inyectiva. Escribí una prueba pero creo que es incorrecta, ya que no me sirve que tengamos $\mathfrak{m}$ sino un módulo arbitrario y esta afirmación no es válida para módulos arbitrarios. Así que aquí está la prueba

Dejemos que $f:M\rightarrow M'$ sea un inyectivo $R$ -homomorfismo de módulo. Consideremos $f\otimes \operatorname{Id}: M\otimes_R \mathfrak{m}\rightarrow M'\otimes_R\mathfrak{m}$ . Desde $f$ y $\operatorname{Id}$ son homomorfismos, $f\otimes\operatorname{Id}$ también es un homomorfismo. Por los teoremas de isomorfismo, tenemos que $\tilde{f}:M\rightarrow\operatorname{Im}f:x\rightarrow f(a)$ es un isomorfismo, por lo que $\tilde{f}^{-1}$ también. Considere ahora $f^{-1}\otimes \operatorname{Id}:\operatorname{Im}f\otimes_R \mathfrak{m}\rightarrow M\otimes_R\mathfrak{m}$ . Tomemos ahora un tensor elemental $m\otimes n\in M\otimes_R \mathfrak{m}$ . Entonces $$(\tilde{f}^{-1}\otimes \operatorname{Id})( (f\otimes\operatorname{Id})(m\otimes n)) = (\tilde{f}^{-1}\otimes \operatorname{Id})(f(m)\otimes n) = \tilde{f}^{-1}(f(m))\otimes n = m\otimes n$$ Ahora bien, como cada elemento de $M\otimes_R\mathfrak{m}$ pueden ser generados por tensores elementales, lo anterior es válido para tensores arbitrarios, por lo tanto $f\otimes\operatorname{Id}$ es inyectiva.

¿En qué paso estoy asumiendo algo que no puedo y por qué?

Answer 1

Este es un escollo bien conocido. El dominio del mapa \begin{align} \tilde{f}^{-1} \otimes \operatorname{Id} : \operatorname{Im} f \otimes_R \mathfrak{m} \to M \otimes_R \mathfrak{m} \end{align} es $\operatorname{Im} f \otimes_R \mathfrak{m}$ mientras que el codominio del mapa \begin{align} f \otimes \operatorname{Id} : M \otimes_R \mathfrak{m} \to M' \otimes_R \mathfrak{m} \end{align} es $M' \otimes_R \mathfrak{m}$ . Así, la composición $\left(\tilde{f}^{-1} \otimes \operatorname{Id}\right) \circ \left(f \otimes \operatorname{Id}\right)$ no está bien definido.

"Pero espere", dirá usted, "¿no basta con que el imagen del mapa $f \otimes \operatorname{Id}$ está contenida en el dominio de $\tilde{f}^{-1} \otimes \operatorname{Id}$ para que la composición esté bien definida?". Sí, sería suficiente. Pero no es cierto. La imagen del mapa $f \otimes \operatorname{Id}$ está atravesado por tensores de la forma $f\left(m\right) \otimes n$ con $m \in M$ y $n \in \mathfrak{m}$ pero estos tensores siguen formándose en el producto tensorial $M' \otimes \mathfrak{m}$ no en el producto tensorial $\operatorname{Im} f \otimes \mathfrak{m}$ . La inclusión $i : \operatorname{Im} f \hookrightarrow M'$ da lugar a un $R$ -mapa del módulo $i \otimes_R \operatorname{Id} : \operatorname{Im} f \otimes_R \mathfrak{m} \to M' \otimes_R \mathfrak{m}$ pero no (en general) a un inclusión $\operatorname{Im} f \otimes_R \mathfrak{m} \hookrightarrow M' \otimes_R \mathfrak{m}$ Por lo tanto, los tensores de la forma $f\left(m\right) \otimes n$ con $m \in M$ y $n \in \mathfrak{m}$ se encuentran en la imagen de este mapa $i \otimes_R \operatorname{Id}$ pero esto no significa que se encuentren en su dominio (o que puedan ser mapeados en él de una manera bien definida). A menos que sepamos que $\mathfrak{m}$ es un piso $R$ -no podemos garantizar que el mapa $i \otimes_R \operatorname{Id} : \operatorname{Im} f \otimes_R \mathfrak{m} \to M' \otimes_R \mathfrak{m}$ será inyectiva, por lo que no podremos identificar su dominio con su imagen.

Así que la confusión proviene del hecho de que hay dos significados diferentes de $f\left(m\right) \otimes n$ : uno es un tensor en $M' \otimes_R \mathfrak{m}$ y el otro es un tensor en $\operatorname{Im} f \otimes_R \mathfrak{m}$ . Se denominan igual, pero no son iguales entre sí y no se pueden identificar con seguridad.

La razón última de la confusión es, pues, la notación $a \otimes b$ para los tensores puros. Si recuerdas cómo se definen los tensores, te darás cuenta de que un tensor puro $a \otimes b$ en un producto tensorial $A \otimes_R B$ depende no sólo de los elementos $a \in A$ y $b \in B$ pero también en el ambiente $R$ -módulos $A$ y $B$ . Por lo tanto, si se denota por $a \otimes b$ es un abuso de la notación. Si en lugar de ello se denotara por $\left(a, A\right) \otimes_R \left(b, B\right)$ (manteniendo así no sólo los valores $a$ y $b$ pero también el ambiente $R$ -módulos $A$ y $B$ explícita en la notación), entonces esa confusión no podría darse. Pero, por supuesto, casi nadie quiere utilizar este tipo de notación torpe.