Dado que los algebristas no estaban interesados en los sistemas deductivos basados en reglas sintácticas, no puedo entender por qué habría alguna razón para que entendieran "no contradictorio" como equivalente a "satisfactorio" si "contradictorio" se entiende en el sentido de sintácticamente refutable.
¿Es cierto que hay algún tipo de confusión?
Podemos utilizar la frase de Jean van Heijennort Libro de consulta para algunas referencias históricas.
"Inconsistente" fue utilizado por Cantor y Dedekind en un sentido informal: véase Cantor (1899) [página 114] para " multiplicidades inconsistentes ", así como el comentario de Hilbert (1904) sobre Cantor [página 131]. Véase también [página 138]: "existencia consistente".
En el mismo artículo [página 133] Hilbert habla de " consistente noción*" refiriéndose a igualdad cuando se definen axiomáticamente [reflexividad y sustitución].
Así, podemos decir que con Hilbert el sentido moderno de consistencia cuando se refiere a una "teoría" (un conjunto de axiomas), está aflorando.
Zermelo (1908) [página 183-on] habla de conjuntos "consistentes" e "inconsistentes". Pero véase también [página 198]: "tales suposiciones [que conducen a nociones o resultados inconsistentes ] deben ser excluidas y que no se deben derivar consecuencias de nociones inconsistentes".
Y véase también Zermelo (1908a) [página 200]: "Todavía no he podido demostrar rigurosamente que mis axiomas son consistentes".
La definición moderna y clara se encuentra en Post (1921), y es interesante que esta definición no esté presente en W&R's Principia :
[página 272] El El sistema de proposiciones elementales de Principia es consistente ,
donde [página 276] "la noción ordinaria de consistencia [de un conjunto de postulados] implica la de contradicción [...]. Ahora bien, un sistema inconsistente en el sentido ordinario implicará la afirmación de un par de proposiciones contradictorias ([página 272] "tenemos una contradicción [cuando] hemos afirmado una función y su negativo")."
Skolem (1920) [página 254-on], siguiendo a Löwenheim, habla de "satisfabilidad (en un dominio dado) de una proposición de primer orden".
En Skolem (1922) [página 293] tenemos: "Si los axiomas son consistentes existe un dominio en el que se cumplen los axiomas y cuyos elementos pueden ser todos enumerados mediante los enteros positivos finitos.
Así, Skolem tiene muy claro el concepto informal de "noción consistente" (definido por una colección de axiomas) y la noción "formal" de Satisfacción .
Como ha dicho, todavía no existe un sentido moderno de "coherencia sintáctica" ( à la Post ).
Pero ¿cuál era la noción de Skolem de inconsistencia ?
La "obviedad": véase la carta de Russell a Frege (1902) [página 125]: "ahora bien, este punto de vista [el axioma V de Frege, es decir, el principio "de que también una función puede actuar como elemento indeterminado"] me parece dudoso a causa de la siguiente contradicción [la conocida paradoja de Russell]".
Aquí "una contradicción" no se define formalmente (es decir, "sintácticamente"), sino que es simplemente una afirmación "de la que se sigue lo contrario", y por tanto es una afirmación que no puede ser verdadera.
En conclusión, estoy de acuerdo con su perplejidad respecto al comentario de Wang: no hay ninguna "confusión", es decir, algún tipo de confusión.
Skolem, que trabaja en el contexto de la tradición "algebraica", no se interesó por el punto de vista "sintáctico".
Pero, al mismo tiempo, su noción de contradicción era la del "sentido común": una afirmación que implica su contrario, una afirmación que contradice algún axioma o teorema de la teoría.
Véase Skolem (1928) [página 508-on, y el comentario de los editores sobre el término "Widerspruch"]:
[En este último caso, la proposición de primer orden dada contiene una contradicción. En el primer caso, en cambio, es consistente [ widerspruchslos ].
Un documento posterior de Skolem: Algunas observaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos (1950) me parece bastante claro.
Skolem se refiere a la "teoría de conjuntos" de Dedekind como Primera Teoría de Conjuntos [página 695]:
Si debemos formalizar el FST -que por cierto sabemos que es incoherente [...]
[página 696] Ahora sabemos que la FST es inconsistente porque, por ejemplo, la antinomia de Russell se puede deducir en ella.
Y [página 701]:
Sin embargo, se conoce un resultado de Gödel que muestra que este tipo de razonamiento [el razonamiento finitario considerado por el programa de Hilbert] no es suficiente para permitirnos demostrar la consistencia de los sistemas formales habituales de las matemáticas.
Así, el Skolem posterior estaba perfectamente al tanto de los desarrollos actuales de la lógica matemática y del enfoque formalizado de las teorías matemáticas adoptado por la escuela de Hilbert.
