El orden del grupo de Galois de un campo ciclotómico sobre un campo primo finito

Question

Posible duplicado:
Por lo que $(n,k)$ existe un polinomio $p(x) \in F_2\[x\]$ s.t. $\deg(p)=k$ y $p$ divide $x^n-1$ ?
Galoisgroup $\operatorname{Gal}(K(\mu_n) / K) \subseteq (\mathbb{Z} / (n) )^*$

Dejemos que $p$ sea un número primo. Sea $F = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Sea $l$ sea un número primo impar tal que $l \neq p$ . Sea $X^l - 1 \in F[X]$ . Sea $K$ sea el campo de división de $X^l - 1$ . ¿Podemos determinar el grado $K/F$ ?

Este es una pregunta relacionada.

Answer 1

Dejemos que $f$ sea el menor número entero positivo tal que $p^f \equiv 1$ (mod $l$ ). Sea $\Omega$ sea el cierre algebraico de $F$ . Sea $\omega \neq 1$ sea una raíz de $X^l - 1$ en $\Omega$ . Entonces, por mi respuesta a esta pregunta el polinomio mínimo de $\omega$ en $F$ tiene grado $f$ . Desde $F(\omega)$ es el campo de división de $X^l - 1$ El grado de $K/F$ es $f$ .