Supongamos que $P\left(z\right)$ y $Q\left(z\right)$ son polinomios complejos tales que $\deg Q=m\geq l=\deg P$ y wlog suponga que el coeficiente de ventaja en ambos polinomios es $1$ . Quiero demostrar que $\left|\frac{p\left(z\right)}{q\left(z\right)}\right|$ (que es una función que toma valores reales) es asintóticamente equivalente a $\left|\frac{1}{z^{m-l}}\right|$ en el sentido de que $$\left|\left|z^{m-l}\right|\left|\frac{p\left(z\right)}{q\left(z\right)}\right|\right|\longrightarrow1$$ como $z\to\infty$ . Obviamente, obtener este resultado para funciones racionales de valor real es extremadamente fácil, pero estoy teniendo algunas dificultades para mostrarlo para funciones racionales complejas. He intentado escribir $P\left(z\right)=\sum_{i=0}^{l}a_{i}z^{i}$ y $Q\left(z\right)=\sum_{i=0}^{m}b_{i}z^{i}$ y luego escribir: $$\left|z^{m-l}\frac{P\left(z\right)}{Q\left(z\right)}\right|=\left|\frac{\frac{z^{m-l}}{z^{m}}P\left(z\right)}{\frac{1}{z^{m}}Q\left(z\right)}\right|=\left|\frac{\sum_{i=0}^{l}a_{i}z^{i-l}}{\sum_{i=0}^{m}b_{i}z^{i-m}}\right|$$ A partir de esto es muy fácil conseguirlo: $$\frac{\sum_{i=0}^{l}\left|a_{i}z^{i-l}\right|}{\sum_{i=0}^{m}\left|b_{i}z^{i-m}\right|}\overset{z\to\infty}{\longrightarrow}\frac{a_{l}}{b_{m}}=\frac{1}{1}=1$$ Pero eso no es lo que quiero mostrar y no veo si puedo usar esto para obtener el resultado requerido. EDIT - Pregunta adicional: Además, bajo estos supuestos me gustaría decir que $\sup_{\left|z\right|=R}\left|\frac{P\left(z\right)}{Q\left(z\right)}\right|$ , actúa como $\sup_{\left|z\right|=R}\left|\frac{1}{z^{m-l}}\right|=\frac{1}{R^{m-l}}$ como $R\to\infty$ ¿cómo lo haría?
Respuesta
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El mismo enfoque para los polinomios reales funciona. Procedemos por inducción en $m$ . Es evidente que el resultado es válido si $m=0$ . Tenemos $$\left|\frac{z^m}{Q(z)}\right|-\left|\frac{a_{l-1}z^{m-1}+\cdots+a_1z^{m-l-1}}{Q(z)}\right|\le \left|\frac{z^{m-l}P(z)}{Q(z)}\right|\le \left|\frac{z^m}{Q(z)}\right|+\left|\frac{a_{l-1}z^{m-1}+\cdots+a_1z^{m-l-1}}{Q(z)}\right|$$ por lo que basta con demostrar que $$\left|\frac{z^m}{Q(z)}\right|\to 1 \;\;\text{and}\;\; \left|\frac{a_{l-1}z^{m-1}+\cdots+a_1z^{m-l-1}}{Q(z)}\right|\to 0.$$ Para el primer límite, observe que esto equivale a $$\left|\frac{Q(z)}{z^m}\right|\to 1$$ que se desprende de $|z^m/z^m|\to 1$ (que es trivial) y $$\left|\frac{b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+a_1}{z^m}\right|\to 0$$ que es un caso especial del segundo. En cuanto a la segunda, hay que tener en cuenta que equivale a $$\left|\frac{Q(z)}{a_{l-1}z^{m-1}+\cdots+a_1z^{m-l-1}}\right|\to \infty$$ que se desprende de $$\left|\frac{z^m}{a_{l-1}z^{m-1}+\cdots+a_1z^{m-l-1}}\right|\ge \frac{|z|^m}{|a_{l-1}||z|^{m-1}+\cdots+|a_1||z|^{m-l-1}}\to \infty$$ y el hecho de que, por la hipótesis inductiva, tenemos $$\left|\frac{b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_1}{a_{l-1}z^{m-1}+\cdots+a_1z^{m-l-1}}\right|\to \left|\frac{b_{m-1}}{a_{l-1}}\right|.$$
