Entero de soluciones para $x^3+2=y^2$?

Question

He oído un famoso resultado de que $26$ es el único entero, tal que $26-1=25$ es un cuadrado número y $26+1=27$ es un cúbicos número.En otras palabras, $(x,y)=(5,3)$ es la única solución para $x^2+2=y^3$.

Cómo si hacemos algo como esto $x^3+2=y^2$? Hay soluciones integrales? Si es así, finito o infinito?

Lo he comprobado en primera $100$ naturales y sin soluciones satisfacen la ecuación. Sin embargo, no tengo ideas de cómo iniciar la prueba.

Answer 1

Edit: una lectura errónea de la pregunta. Va a dejar la respuesta para un tiempo, puesto que la valoración crítica de la solución para el problema equivocado puede ser interesante para el MSE de los usuarios.

Tenemos que tomar una moderadamente largo rodeo a través de la media aritmética de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, es decir, la aritmética de los números de la forma $a+b\sqrt{-2}$ donde $a$ $b$ son enteros.

Resulta que la aritmética es "agradable", una versión de la Única Factorización Teorema sostiene. Que parte fundamental de la obra es que no se hace en esta respuesta.

El resto de la prueba es bastante natural. Hacemos que el "resto" en detalle.

Supongamos que la ecuación se tiene. A continuación,$(x+\sqrt{-2})(x-\sqrt{-2})=y^3$. Cualquier no-trivial, común divisor de los dos términos de la derecha debe dividir $2\sqrt{-2}$. Pero está claro que $x$ es extraño, porque si $x$ es incluso, a continuación,$x^2+2\equiv 2\pmod{4}$, lo $x^2+2$ no puede ser un cubo perfecto. Por lo tanto $x+\sqrt{-2}$ y su conjugado cada tod norma. Pero no trivial divisor de $2\sqrt{-2}$ tiene incluso la norma. Por lo $x+\sqrt{-2}$ $x-\sqrt{-2}$ son primos relativos en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.

Por Factorización Única, cada una de las $x+\sqrt{-2}$ y su conjugado tiene la forma de la $\epsilon w^3$ donde $\epsilon$ es una unidad. Las unidades sólo se $\pm 1$. Si $\epsilon=-1$, que puede ser absorbido por $w$, por lo que podemos asumir que $x+\sqrt{-2}=w^3$.

Deje $w=a+b\sqrt{-2}$. La expansión del cubo, nos encontramos con que $$x+\sqrt{-2}=(a+b\sqrt{-2})^3= a^3-6ab^2+(3a^2b-2b^3)\sqrt{-2}.$$ Esto da lugar a las ecuaciones $a^3-6ab^2=x$$3a^2b-2b^3=1$.

Pero $3a^2b-2b^3=1$ es una muy restrictiva condición. Desde $b$ divide el lado izquierdo, se debe tener $b=\pm 1$. Si $b=1$ obtenemos $a=\pm 1$, mientras que si $b=-1$, no es $a$ que funciona.

Por lo tanto $x=a^3-6ab^2$$b=1$$a=\pm 1$. Que da las soluciones $x=\pm 5$, $y=3$.

Answer 2

Como se mencionó en el comentario anterior, este es un especial de curva elíptica se llama la curva de Mordell. Si asumimos que el $k$ es un número entero, a continuación, el Abedul-Swinnerton-Dyer conjetura dice que tiene un número finito de soluciones si y sólo si el $L$-función de la curva elíptica no se desvanecen en $s=1$

Answer 3

Yo se lo dejo a los demás a encontrar una escuela primaria de la prueba, pero yo sólo quería decir que esta ecuación define una curva elíptica $E:y^2=x^3+2$. El Mordell-Weil teorema establece que el conjunto de puntos racionales es un finitely generado abelian grupo, por lo que $$E(\mathbb{Q})\cong T_E \times \mathbb{Z}^{R_E},$$ donde $T_E$ es un subgrupo finito, y $R_E\geq 0$ se llama el rango de la curva elíptica. Hay métodos para calcular los $T_E$ $R_E$ (tales como la Nagell-Lutz teorema, o el método de $2$-descenso), y estos métodos son implementados en software, tales como la Salvia y el Magma. En este caso: $$T_E=\{\mathcal{O}\}$$ donde $\mathcal{O}$ es el punto en el infinito con coordenadas proyectivas $[1,0,0]$, e $R_E=1$, con un generador de $(-1,1)$. Así que el conjunto de todos los puntos racionales en $E$ es: $$E(\mathbb{Q})=\{nP: P=(-1,1)\}.$$ Los múltiplos de $P$ tiene las siguientes coordenadas: $$2P=(17/4,-71/8),\ 3P=(127/441, 13175/9261),$$ $$4P=(66113/80656, -36583777/22906304),\ldots$$ Utilizando la teoría de alturas uno puede mostrar que $P=(-1,1)$ $-P=(-1,-1)$ son los únicos integral puntos en $E$, pero no voy a mostrar aquí.

He calculado la torsión y la clasificación utilizando la línea de Magma de la calculadora:

E:=EllipticCurve([0,0,0,0,2]);

Rango(E);

TorsionSubgroup(E);