Dejemos que $C$ sea una familia de curvas cúbicas suaves (todas menos una son suaves, lo explicaré más adelante) en $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ con la siguiente propiedad: dados dos elementos cualesquiera $a,b \in C$ las curvas $a$ y $b$ se cruzan sólo en un punto, a saber $p$ con multiplicidad de intersección $9$ . Como sólo se cruzan una vez, cada punto del plano proyectivo que no sea $p$ se encuentra como máximo en una curva cúbica en $C$ . Además, hemos demostrado que cada punto del plano proyectivo que no sea $p$ se encuentra exactamente en una curva cúbica en $C$ . Por lo tanto, podemos asignar a cada punto de $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ , un vector tangente. Así podemos construir un campo vectorial en el plano proyectivo de esta manera.
Con respecto a la única curva cúbica no suave: Tiene una singularidad nodal en $p$ . Así que cuando construimos el campo vectorial, podemos simplemente tomar el vector tangente que corresponde con todas las demás curvas cúbicas.
Me pregunto si ese campo vectorial que surge de una situación como ésta tiene un nombre, o si incluso es un objeto interesante de observar.
Preguntas que me hago: ¿Qué campos vectoriales se pueden construir de esta manera? ¿Todos los campos vectoriales construidos de esta manera comparten ciertas propiedades? etc. Soy un estudiante que quiere escribir su tesis de grado este año y esto sería una extensión de mi proyecto REU del verano.
