¿Por qué un círculo encierra la mayor superficie?

Question

En este artículo de la wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Circle#Area_enclosed su afirmó que el círculo es la curva cerrada que tiene el área máxima para una longitud de arco dada. En primer lugar, me gustaría ver diferentes pruebas, para este resultado. (¡Si es que hay alguna elemental!)

Una, interesante observación, que uno puede pensar al ver este problema, es: ¿Cómo se plantea este tipo de problema? ¿Alguien toma todas las curvas cerradas, y calcula su área para llegar a esta conclusión? No creo que sea la intuición correcta.

Answer 1

Aquí hay un muy construcción manual que proporciona cierta intuición detrás de este resultado:

Comience con una curva convexa cerrada de algún perímetro $P$ . Elige un punto cualquiera de esta curva. Ahora escoge el único punto de esta curva que es $P/2$ de este punto de partida. Biseca la curva a lo largo de la línea definida por estos dos puntos. Ahora observa las dos mitades. Una de ellas tendrá probablemente el área mayor. Dale la vuelta a esta mitad sobre la más pequeña, obteniendo una nueva curva cerrada con mayor área y con simetría bilateral.

La aplicación repetida de este procedimiento conserva el perímetro, aumenta el área y también introduce un nuevo eje de simetría bilateral con cada paso . En el límite, la figura obtenida es "infinitamente bisimétrica": un círculo. (

Answer 2

Puedo usar una respuesta intuitiva aquí porque puede ser lo suficientemente fácil para que los estudiantes de primaria piensen en ello.

Imaginemos un cable que se dobla en dos lados. Si queremos "encerrar" un área lo más grande posible, dos lados adyacentes deben estar lo más lejos posible el uno del otro. (Compárese con el "área encerrada" cuando los dos lados están muy cerca el uno del otro). Esto significa que el ángulo entre dos lados adyacentes debe tender a 180 grados. Pero como la longitud del cable es fija y el área debe ser cerrada, cada lado debe ser lo más corto posible para obtener ángulos adyacentes mayores.

Al final, la forma se convertirá en un círculo.

Answer 3

Primero se puede proponer este problema como: El área $A$ englobado por cualquier curva simple cerrada rectificable $C$ de longitud $L$ satisface la desigualdad $A\geq \frac{L^2}{4\pi}$ y la igualdad se produce, si y sólo si, $C$ es un círculo.

La única demostración que he hecho para esto ha sido utilizando la identidad de Parseval (y por tanto la serie de Fourier), así que no es elemental (pero es bastante sencilla si se conoce la mencionada identidad). Pensé que si quieres puedo publicar esa prueba.

Answer 4

Intentaré añadir una solución "más fácil" pero que requiere 2 supuestos:

1. La forma está formada por aristas.
2. Dada una forma formada por $ n $ bordes y perímetro $ P $ el área más grande será si todas las aristas son iguales en su longitud.

Si tomamos esas 2 suposiciones ocurre algo bonito.
Como la forma es simétrica, tiene un centro y la distancia de su centro a cualquier vértice es igual.
Definamos la distancia a cada vértice como $ r $ .
Lo que se forma es Triángulo isósceles compuesto por dos aristas de la longitud $ r $ y una base de la longitud $ \frac{P}{n} $ .
El área de este triángulo viene dada por $ {A}_{n} = \frac{r}{2} \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) \frac{P}{n} $ .

Dado que hay $ n $ triángulos como este el área viene dada por $ A = \frac{r}{2} \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) $ .

Ahora, para maximizar el son se necesita maximizar el término $ \cos \left( \frac{\pi}{n} \right) $ que se maximiza para $ n \to \infty $ que sugiere la forma de un círculo.

¡Dedicado con amor a Renana!