Como señaló Qiaochu Yuan, esto es una consecuencia de la desigualdad isoperimétrica que relaciona la longitud $L$ y la zona $A$ para cualquier curva cerrada $C$ :
$$ 4\pi A \leq L^2 \ . $$
Tomando una circunferencia de radio $r$ tal que $2\pi r = L$ se obtiene
$$ A \leq \frac{L^2}{4\pi} = \frac{4 \pi^2 r^2}{4\pi} = \pi r^2 \ . $$
Es decir, el área $A$ delimitada por la curva $C$ es menor que el área encerrada por la circunferencia de la misma longitud.
En cuanto a la demostración de la desigualdad isoperimétrica Aquí está la que he aprendido como estudiante, que es elemental y hermosa, creo.
Recorrer la curva $C$ en sentido contrario a las agujas del reloj. Para un campo vectorial plano $(P,Q)$ , Teorema de Green dice
$$ \oint_{\partial D}(Pdx + Qdy) = \int_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dxdy\ . $$
Aplícalo para el campo vectorial $(P,Q) = (-y,x)$ y cuando $D$ es la región delimitada por su curva $C = \partial D$ . Usted obtiene
$$ A = \frac{1}{2} \oint_{\partial D} (-ydx + xdy) \ . $$
Ahora, parametriza $C= \partial D$ con la longitud del arco:
$$ \gamma : [0,L] \longrightarrow \mathbb{R}^2 \ ,\qquad \gamma (s) = (x(s), y(s)) \ . $$
Teniendo en cuenta que
$$ 0= xy \vert_0^L = \int_0^L x'yds + \int_0^L xy'ds \ , $$
obtenemos
$$ A = \int_0^L xy'ds = -\int_0^L x'yds \ . $$
Así que basta por ahora con nuestra curva $C$ . Busquemos una buena circunferencia con la que comparar.
En primer lugar, $[0,L]$ siendo compacta, la función $x: [0,L] \longrightarrow \mathbb{R}$ tendrá un máximo y un mínimo global. Cambiando el origen de nuestra parametrización si es necesario, puedo suponer que el mínimo se alcanza en $s=0$ . Que el máximo se alcance en $s=s_0 \in [0,L]$ . Sea $q = \gamma (0)$ y $p = \gamma (s_0)$ . (Si hay más de un mínimo y más de un máximo, elegimos uno de cada uno: los que prefieras).
Desde $x'(0) = x'(s_0) = 0$ tenemos líneas tangentes verticales en ambos puntos $p,q$ de nuestra curva $C$ . Dibuja una circunferencia entre estas líneas paralelas, tangente a ambas (un poco alejada de $C$ para no ensuciar). Así que el radio de esta circunferencia será $r = \frac{\| pq \|}{2}$ .
Tomemos el origen de coordenadas en el centro de esta circunferencia. Lo parametrizamos con el mismo $s$ la longitud de arco de $C$ :
$$ \sigma (s) = (\overline{x}(s), \overline{y}(s)) \ , \quad s \in [0, L] \ . $$
Por supuesto, $\overline{x}(s)^2 + \overline{y}(s)^2 = r^2$ para todos $s$ . Si elegimos $\overline{x}(s) = x(s)$ Esto nos obliga a tomar $ \overline{y}(s) = \pm \sqrt{r^2 - \overline{x}(s)^2}$ . Para que $\sigma (s)$ recorre toda nuestra circunferencia también en sentido contrario a las agujas del reloj, elegimos el signo menos si $0\leq s \leq s_0$ y el signo más si $s_0 \leq s \leq L$ .
Ya casi hemos terminado, sólo quedan unos pocos cálculos.
Dejemos que $\overline{A}$ denotan el área encerrada por nuestra circunferencia. Así, tenemos
$$ A = \int_0^L xy'ds = \int_0^L \overline{x}y'ds \qquad \text{and} \qquad \overline{A}= \pi r^2 = -\int_0^L\overline{y}\overline{x}'ds = -\int_0^L\overline{y} x'ds \ . $$
Por lo tanto,
$$ \begin{align} A + \pi r^2 &= A + \overline{A} = \int_0^L (\overline{x}y' - \overline{y}x')ds \\\ &\leq \int_0^L \vert \overline{x}y' - \overline{y}x'\vert ds \\\ &= \int_0^L \vert (\overline{x}, \overline{y})\cdot (y', -x')\vert ds \\\ &\leq \int_0^L \sqrt{\overline{x}^2 + \overline{y}^2} \cdot \sqrt{(y')^2+ (-x')^2}ds \\\ &= \int_0^L rds = rL \ . \end{align} $$
La última desigualdad es la de Cauchy-Schwarz y la penúltima igualdad se debe a que $s$ es la longitud de arco de $C$ .
Resumiendo:
$$ A + \pi r^2 \leq rL \ . $$
Ahora bien, como la media geométrica es siempre menor que la aritmética,
$$ \sqrt{A\pi r^2} \leq \frac{A + \pi r^2}{2} \leq \frac{rL}{2} \ . $$
Así,
$$ A \pi r^2 \leq \frac{r^2L^2}{4} \qquad \Longrightarrow \qquad 4\pi A \leq L^2 \ . $$
