¿Por qué es $\ln N - \ln(N-1) = \frac1N$ para grandes $N$ ?

Question

¿Puedo preguntar por qué es $\ln N - \ln(N-1) = \frac1N$ para grandes $N$ ?

Muchas gracias.

Answer 1

Se puede llegar bastante lejos con sólo el álgebra:

$$\begin{align} \ln N - \ln (N-1) & = \ln N - ( \ln N + \ln (1-1/N)) \\ & = -\ln (1-1/N) \end{align}$$

utilizando las leyes de adición de logaritmos. Ahora puedes utilizar la Expansión de Taylor del logaritmo natural :

$$-\ln(1-x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots$$

para conseguir

$$-\ln(1-1/N) = \frac{1}{N} + \frac{1}{2N^2} + \cdots$$

para que $\ln N - \ln (N-1)$ es, para grandes $N$ , igual a $1/N$ más un término de corrección del orden de $O(1/N^2)$ .

Answer 2

Los dos lados de su ecuación nunca son exactamente iguales. Pero su relación tiende a 1 como $N$ tiende a infinito. Esto se debe a que la derivada de la $\ln$ función en $N$ es $1/N$ por lo que es aproximadamente la cantidad en la que la función cambia entre $N-1$ y $N$ .

Answer 3

$\small \begin{eqnarray} \ln(n) - \ln(n-1) &=&\ln(n)-\left( \ln(n)+\ln({n-1 \over n}) \right) \\ &=& -\ln(1-1/n ) \\ &=& 1/n + 1/n^2/2+1/n^3/3+... \end{eqnarray}$

Este último se aproxima a $\small 1 / n$ cuando n aumenta sin límites.

Answer 4

$$\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x-\ln(x-1)}{1/x} &= \lim_{x\to\infty}x(\ln x-\ln(x-1))\\ &=\lim_{x\to\infty} x\ln\left(\frac{x}{x-1}\right)\\ &=\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(\frac x{x-1}\right)^x\right)\\ &=\ln e\\ &= 1. \end{align*}$$ Donde $\lim_{x\to\infty}\left(\frac x{x-1}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x-1}\right)^{x-1}\left(1+\frac 1{x-1}\right)=e\cdot 1=e$ .

Answer 5

Sólo para completar, el valor exacto (me sorprende que no se haya mencionado hasta ahora, aunque está implícito en la respuesta "es la derivada"):

$$\begin{align} \ln N &= \int_{1}^{N} \frac1x \, dx \quad \text{ and }\\ \\ \ln (N+1) &= \int_{1}^{N+1} \frac1x \, dx, \quad \text{ so }\\ \\ \ln (N+1) - \ln N &= \int_{N}^{N+1} \frac1x \, dx \end{align}$$

Ahora, como $\frac1{N+1} \le \frac1x \le \frac1N$ para $N \le x \le N+1$ claramente tenemos

$$\frac{1}{N+1} \le \ln(N+1) - \ln N \le \frac1{N}$$

Calculando la integral con mayor precisión se obtendría una estimación más exacta de $\ln(N+1) - \ln N$ .