Comportamiento decisivo de $f(x)=2x^3− 9x^2 + 12x + 3$ en el intervalo $[0,2]$

Question

Cuando encontramos los máximos y mínimos de esta función, se produce un máximo en x=1 y un mínimo en x=2.

Podemos decir sin calcular f(0) que sería el valor mínimo de la función en el intervalo [0,2], ya que en - infinito, la función es negativa y por tanto para alcanzar un máximo (positivo) en x=1, tendría que tener una raíz real, es decir, cruzar el eje x.

O tenemos que calcular f(0) y f(2) y luego decir que como f(0) es menor que f(2), es nuestra respuesta.

En otras palabras, ¿es posible que f(0) sea mayor que f(2) para una función cúbica como ésta que se mueve de -infinito a +infinito en los extremos y tiene puntos de inflexión en x=1 y x=2?

Gracias.

Answer 1

En un intervalo limitado, hay que calcular el valor en ambos extremos para estar seguros. Ambos extremos pueden no estar relacionados con el comportamiento a menos infinito y más infinito

Answer 2

La derivada de $$ f(x)=2x^3-9x^2+12x+3 $$ es $$ f'(x)=6x^2-18x+12 $$ que es igual a $0$ cuando $x^2-3x+2=0$ es decir, cuando $x=1$ o $x=2$ . Sin siquiera pensar en mínimos o máximos, sabemos que $f(0)$ es un fuerte contendiente para ser el valor más pequeño en el intervalo $[0,2]$ , como $f$ es estrictamente creciente en $(-\infty,1]$ . Sin embargo, como $f$ es estrictamente disminuyendo en $[1,2]$ tenemos que comprobar si el gráfico desciende lo suficiente como para que $f(2)<f(0)$ . Por lo tanto, no basta con decir que $f(0)$ es el valor más pequeño sin comprobar primero cuál es el valor de $f(2)$ es.

En este caso particular, obtenemos que $f(0)=3$ y que $f(2)=7$ , por lo que resulta que el gráfico no bajar lo suficiente. Sin embargo, nosotros debe comprobar los puntos finales del intervalo para estar seguros de que hemos llegado a la conclusión correcta.