¿Por qué es $ (X \perp Y\mid Z) \ \& \ (X \perp W \mid Z) \implies X \perp (Y,W) \mid Z $ ¿Falso? ¿Hay algún contraejemplo?

Question

Recientemente estoy aprendiendo el modelo gráfico probabilístico. No puedo construir un modelo gráfico que contradiga la regla mencionada, ya sea bayesiano o de red de Markov.

Si $ (X \perp Y\mid Z) $ , entonces no hay un camino activo entre $X$ y $Y$ dado $Z$ y si $(X \perp W \mid Z) $ , entonces no hay un camino activo entre $X$ y $W$ dado $Z$ . Así que no hay un camino activo entre $X$ y $Y,W$ dado $Z$ Por lo tanto $X \perp (Y,W) \mid Z $ . ¿Qué falta aquí?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $X,Y\sim\operatorname{i.i.d. Bernoulli}(1/2)$ y que $W$ sea el mod- $2$ suma de $X$ y $Y;$ así $(X,Y) = (0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$ cada uno con probabilidad $1/4$ y $$ W= \begin{cases} 0 & \text{if } X=Y, \\ 1 & \text{if } X\ne Y. \end{cases} $$ Entonces dejemos que $Z=X.$

Entonces $Y$ y $X$ son condicionalmente independientes dado $Z,$ y $X$ y $W$ son condicionalmente independientes dado $Z,$ pero $X$ no es condicionalmente independiente de $(Y,W)$ dado $Z.$