Una probabilidad de juego

Question

Motivación: Un amigo me preguntó.

El Problema: Supongamos que partimos de un dólar. Usted lanza una moneda, si cae en la cabeza de que usted gane $50$ centavos de lo contrario se pierde $50$ centavos. Si después de $n$ voltea a tener un valor distinto de cero cantidad de dinero, usted gana. ¿Cuál es la probabilidad de ganar? Lo que sobre el caso limitante como $n$ tiende a infinito?

edit: En este juego no se permite a los negativos dinero. Gracias, Jonathan Fischoff, el vinculado ayudado mucho.

Answer 1

Este tipo de problema en paseo aleatorio suele resolverse con el Principio de Reflejo, con el pie visualizado como un entramado de ruta. Extrañamente, no puedo encontrar una referencia en línea para la solución, sino que se da en Feller el libro sobre la teoría de la probabilidad, volumen 1.

Aquí, la medición del dinero en unidades de 0,5 dólares, el pie, dibujado en el $(x,y)$ plano, se inicia en (2,0), se mueve por $(+1,\pm 1)$ a cada paso, y la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de que más de $n$ mueve el pie siempre es $\geq 1$.

Answer 2

Aquí es completamente probabilística de la prueba inspirada en Morón en http://math.stackexchange.com/questions/4044/finding-a-clever-solution-to-a-game-of-chance.

Sea p la probabilidad de que termino con una pérdida neta de 50 centavos, a continuación,$p = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} p^3$. Es decir, yo tampoco pierde el 50 centavos de dólar, o ganar un dólar y perder un dólar con 50 centavos el tiempo. Resolviendo para p I get 1, $(-1-\sqrt{5})/2$, e $(1-\sqrt{5})/2$ y no es difícil ver que podemos descartar los dos primeros. Ahora la probabilidad de que terminan con una pérdida neta de un dólar es $p^2 = (3-\sqrt{5})/2$.

Answer 3

Como Issac ha señalado, esto es conocido como el Gamler ruina del problema. Hace poco escribí un par de posts en el blog (este y el post enlazado desde allí), explicando cómo calcular la probabilidad de ruina. Voy a repetir parte de una de las pruebas aquí.

Formulación Del Problema

Un jugador entra en un casino con $n$ dólares en efectivo y empieza a jugar un juego donde se gana con probabilidad de $p$ y pierde con probabilidad de $q = 1-p$ El gampler juega el juego varias veces, apostando $1$ dólar en cada ronda. Él deja la dio el total de su fortuna alcanza los $N$ o se le acaba el dinero ( en ruinas), lo que ocurra primero. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador está en ruinas.

Un jugador de la ruina puede ser modelada como una dimensión de paseo aleatorio en el que estamos interesados en la probabilidad de golpear la absorción de los estados. El cálculo de estas probabilidades es bastante sencillo. Deje $P_N(n)$ denotar la probabilidad de que el jugador que la fortuna llegue a $N$ dólares antes de que él se arruinó con la condición de que su actual fortuna es $n$. A continuación,

$P_N(n) = p P_N(n+1) + q P_N(n-1)$

la cual puede escribirse como

$\displaystyle [P_N(n+1) - P_N(n)] = \left(\frac q p \right)[ P_N(n) - P_N(n-1)]$

Desde $P_N(0) = 0$, tenemos que

$\displaystyle P_N(2) - P_N(1) = \left(\frac qp \right) P_N(1)$

y del mismo modo

$\displaystyle P_N(3) - P_N(2) = \left(\frac qp \right) [P_N(2) - P_N(1)] = \left( \frac qp \right)^2 P_N(1)$

Continuando de esta manera, conseguimos que los

$\displaystyle P_N(n) - P_N(n-1) = \left( \frac qp \right)^{n-1} P_N(1) $.

y por lo tanto, mediante la adición de la primera $n$ tales términos, obtenemos

$\displaystyle P_N(n) = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac qp \right)^k P_N(1)$.

Por otra parte, sabemos que

$\displaystyle P_N(N) = \sum_{k=0}^{N-1} \left( \frac qp \right)^k P_N(1) = 1$.

Por lo tanto,

$\displaystyle P_N(1) = \frac 1{\sum_{k=0}^{N-1} \left( \frac qp \right)^k} = \frac { 1 - (q/p)}{\strut 1 - (q/p)^N}, \quad p \neq q $

$P_N(1) = \frac 1N, \quad p = q $.

La combinación con la expresión anterior para $P_N(n)$ somos,

$\displaystyle P_N(n) = \begin{cases} \frac{ 1 - (q/p)^n} {\strut 1 - (q/p)^N}, & p \neq 1/2 \ \frac{n}{N}, & p = 1/2 \end{cases}$.

Para facilitar la representación deje $\lambda = q/p$. Entonces, la probabilidad de ganar son

$\displaystyle P_N(n) = \frac{ 1 - \lambda^n} {\strut 1 - \lambda^N}, \quad \lambda \neq 1 $

$P_N(n) = \frac{n}{N}, \quad \lambda = 1 $.

Answer 4

Como n tiende a infinito, se te acaba el dinero con probabilidad 1. Esto se conoce como el jugador de la ruina o el borracho a pie -, si usted está ganando/perdiendo dinero o caminar lado a lado, de tal manera que usted gana/pierde/ir a la izquierda/ir a la derecha con probabilidad 1/2 (1-d simple simétrica de paseo aleatorio), y hay un límite como ir a la quiebra o acabar en la cuneta, como el número de juegos/pasos tiende a infinito, la probabilidad de llegar a ese límite va a 1.

No sé cómo demostrarlo, pero por Josué Zucker el comentario sobre A001405 en la OEIS, y de acuerdo con T..'s respuesta, la probabilidad de acabar con un monto positivo de dinero después de n flips si usted comenzó con el dinero no sería $\frac{1}{2^n}{n\choose \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}$. Porque se empieza con un dólar en lugar de dinero, esto es compensado por lo que la probabilidad de tener dinero después de n flips es $\frac{1}{2^{n-1}}{n-1\choose \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor}$ para n≥1.