Le daré un sí y un no, dependiendo de lo que esté buscando:
Sí.
Ver el artículo de Sturmfels "Resolución de ecuaciones algebraicas en términos de $A$ -Serie Hipergeométrica"
Considere una raíz de $x_0 + x_1 t + \cdots + x_n t^n$ como una función $F(x_0, x_1, \ldots , x_n)$ . Luego $F$ es una función hipergeométrica A (también conocida como función hipergeométrica GKZ), asociada a la $A$ -matriz $$ \begin {pmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end {pmatrix}.$$ Este resultado era en cierto sentido conocido antes, pero Sturmfels anota estas funciones muy explícitamente.
Ver Las conferencias de Cattani para una rápida introducción a las funciones hipergeométricas A, incluyendo las definiciones de los términos utilizados anteriormente. Este hecho es la Observación 3.23, y Cattani da la historia relevante.
Debo admitir que nunca aprendí a traducir el lenguaje moderno hipergeométrico A al vocabulario clásico de Gauss. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las funciones hipergeométricas A son series de potencia en muchas variables, no en una sola. Y eso me lleva a:
No.
Abhyankar tiene un papel que desearía entender mejor; traté de explicar mi comprensión parcial aquí . Deje que $F(x_5, x_6)$ ser una raíz de $t^6+x_5 t + x_6=0$ . Creo que Abhyankar está demostrando que $F$ no puede expresarse en términos de operaciones sobre el terreno y funciones holomórficas de variables únicas; intrínsecamente tiene que ser una función de dos variables. Así que mientras permanezcas con $F \left ( \begin {smallmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_k \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_{ \ell } \end {smallmatrix} \mid z \right )$ y conectarlo con las operaciones de campo, creo que Abhyankar te está diciendo que nunca podrás expresar las raíces de un sexista en general.
Mis dos comentarios se refieren a la cuestión de la expresión de las raíces de $x_n t^n + \cdots + x_1 t + x_0$ como funciones de $(x_n, \ldots , x_1, x_0)$ por fórmulas uniformes. No me refiero a la cuestión de si un número algebraico en particular podría ser igual a una función hipergeométrica. Veo que usted ya preguntó una pregunta muy difícil en ese sentido sobre la expresión de los números algebraicos en términos de exponenciales; espero que probar cualquier cosa sobre las funciones hipergeométricas sólo pueda ser más difícil.
