¿Son suficientes las funciones hipergeométricas elementales y generalizadas para expresar todos los números algebraicos?

Question

¿Son suficientes (números enteros) más (funciones elementales) más (funciones hipergeométricas generalizadas) para representar cualquier número algebraico?

Por ejemplo, el número algebraico real $\alpha\in (-1,0)$ satisfactoria $$65536\, \alpha ^{10}+327680\, \alpha ^9+327680\, \alpha ^8-655360\, \alpha ^7-983040\, \alpha ^6+16720896\, \alpha ^5 \\ +20983040\, \alpha ^4-655360\, \alpha ^3-109155805\, \alpha ^2-30844195\, \alpha +16762589=0$$ puede representarse como $$\alpha ={_4F_3} \left ( \begin {array}c \frac15 , \frac25 , \frac35 , \frac45\\\frac12 , \frac34 , \frac54\end {array} \middle | \frac1 { \sqrt5 } \right )- \frac {1+ \sqrt5 }2.$$ (ver Trae a los radicales para los detalles)

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Aquí están las respuestas en las que utilicé algunos casos particulares en los que esta representación es posible: [1] , [2] . Estos casos son motivadores para tratar de encontrar un método general aplicable a todos los números algebraicos.

Answer 1

Le daré un sí y un no, dependiendo de lo que esté buscando:

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Sí.

Ver el artículo de Sturmfels "Resolución de ecuaciones algebraicas en términos de $A$ -Serie Hipergeométrica"

Considere una raíz de $x_0 + x_1 t + \cdots + x_n t^n$ como una función $F(x_0, x_1, \ldots , x_n)$ . Luego $F$ es una función hipergeométrica A (también conocida como función hipergeométrica GKZ), asociada a la $A$ -matriz $$\begin {pmatrix} 0 & 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end {pmatrix}.$$ Este resultado era en cierto sentido conocido antes, pero Sturmfels anota estas funciones muy explícitamente.

Ver Las conferencias de Cattani para una rápida introducción a las funciones hipergeométricas A, incluyendo las definiciones de los términos utilizados anteriormente. Este hecho es la Observación 3.23, y Cattani da la historia relevante.

Debo admitir que nunca aprendí a traducir el lenguaje moderno hipergeométrico A al vocabulario clásico de Gauss. Sin embargo, hay que tener en cuenta que las funciones hipergeométricas A son series de potencia en muchas variables, no en una sola. Y eso me lleva a:

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No.

Abhyankar tiene un papel que desearía entender mejor; traté de explicar mi comprensión parcial aquí . Deje que $F(x_5, x_6)$ ser una raíz de $t^6+x_5 t + x_6=0$ . Creo que Abhyankar está demostrando que $F$ no puede expresarse en términos de operaciones sobre el terreno y funciones holomórficas de variables únicas; intrínsecamente tiene que ser una función de dos variables. Así que mientras permanezcas con $F \left ( \begin {smallmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_k \\ b_1 & b_2 & \cdots & b_{ \ell } \end {smallmatrix} \mid z \right )$ y conectarlo con las operaciones de campo, creo que Abhyankar te está diciendo que nunca podrás expresar las raíces de un sexista en general.

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Mis dos comentarios se refieren a la cuestión de la expresión de las raíces de $x_n t^n + \cdots + x_1 t + x_0$ como funciones de $(x_n, \ldots , x_1, x_0)$ por fórmulas uniformes. No me refiero a la cuestión de si un número algebraico en particular podría ser igual a una función hipergeométrica. Veo que usted ya preguntó una pregunta muy difícil en ese sentido sobre la expresión de los números algebraicos en términos de exponenciales; espero que probar cualquier cosa sobre las funciones hipergeométricas sólo pueda ser más difícil.