Considere la función $f(y) = (y^2 + c)e^y$ . Entonces $f$ es continua y tiene un comportamiento limitante $\lim_{y \to -\infty} f(y) = 0$ y $\lim_{y \to \infty} f(y) = \infty$ . Por el teorema del valor intermedio, existe una solución para $f(y) = x$ para cualquier $x \in (0, \infty)$ .
Esto se pierde un poco de información, como si $c < 0$ entonces hay soluciones para algunos $x < 0$ . El mismo razonamiento nos servirá a nosotros. En particular, cuando $c < 0$ entonces $f$ toma su mínimo en $y_m = -1 + \sqrt{1 - c}$ .
Podemos ver esto tomando la derivada y poniéndola igual a $0$ . Las soluciones a $f'(y) = 0$ son $y = -1 \pm \sqrt{1 - c}$ . El punto izquierdo $y_M = -1 - \sqrt{1 - c}$ es un máximo. El punto correcto $y_m = -1 + \sqrt{1 - c}$ es un mínimo. No hay otros extremos. Para facilitar la tarea, se denomina el mínimo local $f(y_m) = m$ y el máximo local $f(y_M) = M$ . Con esto, podemos clasificar todas las soluciones.
Cuando $c < 0$ Hay soluciones para $f(y) = x$ para todos $x \geq m$ .
- Hay exactamente una solución para $f(y) = m$ .
- Para $x \in (m, 0]$ hay exactamente dos soluciones para $f(y) = x$ . Además, una solución es en $(y_M, y_m)$ y el otro está en $(y_m, \infty)$ .
- Para $x \in (0, M)$ hay exactamente tres soluciones para $f(y) = x$ . Una solución está en $(-\infty, y_M)$ , otra en $(y_M, y_m)$ y el tercero en $(y_m, \infty)$ .
- Hay exactamente dos soluciones para $f(y) = M$ . Uno es $y_M$ y el otro está en $(y_m, \infty)$ .
- Hay exactamente una solución para $f(y) = x$ para todos $x > M$ .
Se puede hacer un análisis análogo para $c \geq 0$ .
Todo esto ha sido por la existencia de soluciones. Numéricamente, es relativamente fácil encontrar soluciones, especialmente si restringimos el dominio en $y$ a $[y_m, \infty)$ . En esta región, $f(y)$ es estrictamente creciente y se puede aproximar $f(y)$ por $y^2 e^y$ , utiliza la de Lambert $W$ y proceder por bisección para calcular las soluciones.
