Dejemos que $k$ y $n$ sean enteros positivos con $k \leq n$ . Supongamos que $X_1, X_2, \dots, X_n$ son subconjuntos distintos de $[0,1]$ tal que para todo $x \in [0,1], \#\{j \in \{1, \dots, n\} \ | \ x \in X_j \} \geq k$ . Es decir, cada $x \in [0,1]$ está en al menos $k$ de la $X_i$ .
¿Es posible encontrar números enteros $a_1, a_2, \dots, a_n \in \{0,1,\dots, k -1\}$ tal que $a_1 + X_1, a_2 + X_2, \dots, a_n + X_n$ cubre $[0,k]$ ?
He dibujado algunos ejemplos sencillos cuando $k = 2$ y $n = 3$ . Por ejemplo $X_1 = [0,1], X_2 = [0, \frac12], X_3 = [\frac12, 1]$ . Hay múltiples formas de desplazar el $X_i$ por cantidades integrales para cubrir $[0,2]$ .
En casos sencillos como estos, es posible, y la $a_i$ puede elegirse de múltiples maneras. Para el caso general, me resulta difícil encontrar un método para decidir cuál es el $a_i$ debería ser. Intuitivamente, el resultado parece cierto.
Definir $S_x := \{j \in \{1, \dots, n\} \ | \ x \in X_j \}$ para todos $x \in [0,1]$ . Podemos definir una relación de equivalencia $\sim$ en $[0,1]$ con $x \sim y$ si $S_x = S_y$ y considerar un conjunto finito y completo de representantes $x_1, x_2, \dots, x_m$ para las clases de equivalencia (debe haber finitamente muchas clases de equivalencia ya que hay finitamente muchas posibilidades para $S_x$ , $x \in [0,1]$ ).
Tal vez la consideración de esta relación de equivalencia podría arrojar algo de luz sobre una prueba, pero hasta ahora no he hecho ningún progreso.
Mis preguntas son:
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¿Es posible encontrar tal $a_i$ ?
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Si no es posible en general, ¿hay alguna condición que podamos imponer al $X_i$ para hacer posible la búsqueda de tales $a_i$ (por ejemplo, mensurabilidad de Lebesgue, apertura, etc.)? O relajando la condición de que el $a_i$ ¿son números enteros?
Esta pregunta surge de un problema de deberes de teoría de la medida que es fácil de resolver con la integral de Lebesgue, pero aún no lo hemos tratado en clase, por eso hago esta pregunta.
