Escuché este hecho en una conferencia que vi sobre superficies de Riemann, pero no entiendo por qué es cierto. Cualquier literatura sobre esto también sería útil.
Gracias,
James
Respuesta
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Proviene de la estructura local de las funciones holomorfas: si $f$ es holomorfo alrededor de $z_0$ y $f'(z_0)=0$ entonces $f$ no es inyectiva alrededor de $z_0$ porque (suponiendo que $z_0=f(z_0)=0$ para simplificar) $f(z)=(g(z))^n$ para alguna holomorfía $g$ , $g'(0)\neq 0$ , $n$ menor potencia en la serie de Taylor de $f$ -- usuario8268
Por lo tanto, una función holomorfa inyectiva tiene derivada no evanescente, lo que por el teorema de la función inversa garantiza la suavidad de su inversa; las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la inversa se pueden comprobar directamente. Todo este cálculo se puede hacer en dominios en $\mathbb C$ la conclusión se traslada directamente al caso de los colectores ya que la cuestión (regularidad de la inversa) es local .
