Isomorfismos naturales: ¿cuál es la situación actual de la "tesis de Eilenberg/Mac Lane"?

Question

La Tesis de Church/Turing que todos conocemos y amamos afirma que toda función algorítmicamente computable (en un sentido caracterizado informalmente) es de hecho recursiva/computable de Turing/computable de Lambda. Un determinado concepto intuitivo, afirma la Tesis, recoge de hecho las mismas funciones que ciertos conceptos definidos de forma nítida (probadamente equivalentes).

¿Pruebas? De dos tipos: (1) "cuasi-empíricas", es decir, que no se han encontrado excepciones claras e indiscutibles, (2) conceptuales, como por ejemplo los esfuerzos del propio Turing por demostrar que cuando reflexionamos sobre lo que entendemos por computación algorítmica nos reducimos al tipo de operaciones que una máquina de Turing puede emular.

Bien, ahora compara. La "Tesis de Eilenberg/Mac Lane" en una versión (¿pero alguien la llama así?) es que si un isomorfismo entre widgets y wombats es intuitivamente "natural" (es decir, no depende de elecciones arbitrarias de coordenadas, o similares) entonces puede ser regimentado como un isomorfismo natural entre funtores adecuados en el sentido oficial de la teoría de categorías. Un determinado concepto intuitivo, afirma la Tesis, escoge de hecho los mismos isomorfismos que un determinado concepto claramente definido.

¿Pruebas? Se esperan dos tipos. (1*) "cuasi-empíricas", es decir, sin excepciones claras. (2*) conceptuales...

Dos cuestiones principales:

(A) Pero son ¿no hay excepciones? O (para tomar la dirección del fracaso, quizá más probable) ¿hay casos bien conocidos en los que podamos decir "Oye, este es el tipo de isomorfismo cuya naturalidad intuitiva era seguramente del tipo que Eilenberg/Mac Lane intentaban caracterizar, en su día: pero en realidad, no se puede meter este caso con calzador en el marco de su teoría de los isomorfismos naturales".

(B) Suponiendo que la Tesis no sea derrotada por el contraejemplo, ¿cuáles son los mejores esfuerzos para intentar demostrar que, conceptualmente, "debería" ser cierta?

Answer 1

¿Cuenta el siguiente ejemplo?

Dejemos que $X$ sea un esquema suave cuasi-proyectivo sobre algún campo. El Carácter de Chern $\mathrm{ch}_X : K_0(X) \to A(X,\mathbb{Q})$ es natural con respecto a las estructuras de funtores contravariantes (pullbacks). Sin embargo, no es natural con respecto a las estructuras de funtores covariantes (pushforwards). Es decir, para un morfismo suave $f : X \to Y$ No tenemos $\mathrm{ch}_Y \circ f_{!} = f_* \circ \mathrm{ch}_X$ en general. Sin embargo, el célebre Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch afirma que Clases de Todd puede reparar esto: Tenemos $\mathrm{td}_Y \cdot (\mathrm{ch}_Y \circ f_{!}) = f_* \circ (\mathrm{ch}_X \cdot \mathrm{td}_X)$ . No estoy seguro de cómo expresar esto como una condición de naturalidad en el sentido de la teoría de las categorías.

Answer 2

Aunque tiendo a suscribir la "tesis" de Eilenberg-Maclane, conozco un ejemplo que se comporta de forma extraña: mirando los espacios de Hilbert sobre $\mathbb R$ (para no tener que pensar en la conjugación compleja), el isomorfismo de Riesz-Fischer $j_V:V\to V^*$ de un espacio de Hilbert (real) y su dual $V^*$ (=funcionales reales-lineales continuas sobre ella) no es "natural", en el sentido de que, para (lineales continuas) $f:V\to W$ , rara vez se da el caso de que $f^*\circ j_W\circ f=j_V$ . Es decir, los cuadrados evidentes no conmutan.

(Por ejemplo, si $f:V\to W$ no es inyectiva, entonces el adjunto $f^*:W^*\to V^*$ no es sobreyectiva... Más sencillo aún: para $f:\mathbb R\to \mathbb R$ mediante la multiplicación por $t\not=\pm 1$ el adjunto es la multiplicación por $t$ y $f^*\circ j_V\circ f=$ multiplicación por $t^2$ ...)

De hecho, nunca he necesitado esta (inexistente) "naturalidad", por lo que no ha impedido nada de lo que he hecho. Sin embargo, hasta hace pocos años, si alguien me hubiera preguntado si el mapa de Riesz-Fischer era "natural" (aparte de las cuestiones relativas a la conjugación compleja...), habría dicho inmediatamente que "sí".