Un teorema de selección fuerte de Borel para las relaciones de equivalencia

Question

En el libro de Kechris "Classical Descriptive Set Theory" está el siguiente teorema (12.16):

Dejemos que $X$ sea un espacio polaco y $E$ una relación de equivalencia tal que toda clase de equivalencia es cerrada y la saturación de cualquier conjunto abierto es Borel. Entonces $E$ admite un selector de Borel.

Así, bajo las hipótesis del teorema, se obtiene un conjunto de representantes que es Borel.

También hay formas más fuertes de este teorema que debilitan los supuestos, por ejemplo, a que las clases sean $G_\delta$ en lugar de cerrado (véase Miller (1980)).

Tengo la sensación de que un teorema con un supuesto aún más débil como el siguiente debería ser cierto.

Pregunta: Dejemos que $X$ sea un espacio polaco y $E$ una relación de equivalencia tal que cada clase de equivalencia es Borel y la saturación de cualquier conjunto abierto es Borel. ¿Es $E$ ¿admite siempre un selector de Borel?

No soy un experto en este campo y por lo tanto también feliz si usted puede dar una referencia.

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea el espacio de Cantor $2^\omega$ y que $E$ sea la relación de "equivalencia mod $\mathrm{Fin}$ " es decir, $xEy$ si y sólo si $\{n \in \omega :\, x(n) \neq y(n) \}$ es finito. Las clases de equivalencia para esta relación son contables (por lo tanto Borel, e incluso $F_\sigma$ ). Si $U \subseteq 2^\omega$ está abierto, entonces $U$ contiene un subconjunto básico clopen de $2^\omega$ que (por cómo están definidos) contiene un representante de cada clase de equivalencia de $E$ . Por tanto, la saturación de cualquier conjunto abierto no vacío con respecto a $E$ es $2^\omega$ mismo. Sin embargo, $E$ no admite un selector de Borel: cualquier selector para $E$ no es medible con respecto a la medida habitual de Haar en $2^\omega$ por el argumento clásico de Vitali.