Unión de funciones continuas en un espacio topológico

Question

Dejemos que $X,Y$ espacios topológicos, y $A,B\subset X$ tal que $\overline{A}\cap B=A\cap \overline{B}=\emptyset$ .

Supongamos que tenemos dos funciones continuas $f:A\to Y$ , $g:B\to Y$ .

¿Es cierto que la función $h:A\cup B\to Y$ definido como $$h(x)=\begin{cases}f(x)& x\in A\\ g(x)& x\in B\end{cases},$$ es continua?

He intentado tomar $S\subset Y$ conjunto cerrado y escritura $h^{-1}(S)=f^{-1}(S)\cup g^{-1}(S)=(A\cap C_1)\cup (B\cup C_2)$ donde $C_1$ y $C_2$ son subconjuntos cerrados de $X$ pero no puedo concluir nada de esto.

Cualquier sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Escribe $X'=A\cup B$ . Entonces, desde $\overline A\cap B=\emptyset=A\cap \overline B$ podemos decir, tanto $$A=X'\backslash \overline B=X'\backslash(\overline B\cap X')\text{ and }B=X'\backslash \overline A=X'\backslash(\overline A\cap X')$$ están abiertas en $X'$ como, $\overline A\cap X'\subseteq_{\text{closed}}X',\overline B\cap X'\subseteq_{\text{closed}}X'$ . Ahora, para cualquier subconjunto abierto $V$ de $Y$ que tenemos, $$h^{-1}(V)=f^{-1}(V)\cup g^{-1}(V).$$ Desde $f,g$ son continuos, tenemos, $f^{-1}(V)\subseteq_{\text{open}}A\subseteq_{\text{open}}X'$ y $g^{-1}(V)\subseteq_{\text{open}}B\subseteq_{\text{open}}X'$ . Así que, $h^{-1}(V)$ está abierto en $X'$ .