Cómo demostrar que un conjunto de polinomios es una base para $\mathbb{P_3}$

Question

Me dan un conjunto de cuatro polinomios, $\{t-1,t+1,t^2-1,t^3\}$ . Dejo que $\alpha$ sea un elemento arbitrario de $\mathbb{P_3}$ tal que $$\alpha = \alpha_o+\alpha_1t+\alpha_2t^2+\alpha_3t^3$$ A continuación he multiplicado mis elementos de base por $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ respectivamente para obtener $$dt^3+ct^2+(a+b)t+(b-a)$$ Está claro que debemos elegir $d=\alpha_3$ y $c=\alpha_2$ sin embargo puedo decir que $a+b=\alpha_1$ y $b-a=\alpha_o$ ? No me parece que podamos generar cada componente de $\mathbb{P_3}$ pero no veo necesariamente por qué.

Answer 1

Obsérvese que se puede demostrar la independencia con algo más de facilidad que resolviendo el sistema de "bijetividad".

Desde $dt^3+c(t^2-1)+b(t+1)+a(t-1)=0\iff\begin{cases}d=0\\c=0\\a+b=0\\-a+b-c=0\end{cases}$

Esta es una solución fácil que muestra $a=b=c=d=0$ .

Answer 2

Sí, $a+b=\alpha_1\land b-a-c=\alpha_0\implies a+b=\alpha_1\land b-a=\alpha_0+\alpha_2\implies b=(\alpha_0+\alpha_1+\alpha_2)/2\land a=(\alpha_1-\alpha_0-\alpha_2)/2$ . Así que tenemos una base.