Es probable que la respuesta a la siguiente pregunta sea bien conocida o que la propia pregunta no tenga una respuesta razonable. En este último caso, ¿podría indicarme cuál es la pregunta "correcta" (en lugar de afirmar que la respuesta es 42;))?
¿Existe un procedimiento puramente categórico que tome la categoría de anillos conmutativos como entrada y produzca la categoría de esquemas (sobre $\mathbf{Z}$ ) como salida?
Un posible punto de partida sería considerar un esquema $X$ como un functor de la categoría $CommRing$ de anillos conmutativos a la categoría de conjuntos: $A\mapsto Hom_{Sch}(Spec(A),X)$ donde $A$ un anillo conmutativo. Si en lugar de $Spec(A)$ consideramos todos los esquemas, entonces simplemente obtenemos la incrustación de Yoneda. Pero surgen algunas preguntas.
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¿Da esto un funtor totalmente fiel de esquemas a funtores de anillos conmutativos a conjuntos? O, hablando en términos generales, ¿ $Spec(A)$ -puntos valorados ( $A$ un anillo conmutativo) bastan para determinar un esquema? (Mi opinión es que la respuesta es sí y esto es clásico).
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¿Hay alguna forma de caracterizar esos funtores que realmente provienen de esquemas? Por ejemplo, se puede introducir una topología de Grothendieck en $CommRing$ (o su opuesto) y exigir que el functor sea una gavilla en esa topología. Pero en ese caso, ¿se puede describir la topología sin referirse al hecho de que los objetos de $CommRing$ son anillos conmutativos? (Aquí mi opinión es que la primera pregunta es probablemente demasiado complicada, pero hay algunas condiciones necesarias).
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Independientemente de que la respuesta a la pregunta 2. sea positiva o negativa, ¿hay alguna forma de describir los espacios algebraicos o los apilamientos como presheaves en $CommRing^{op}$ que cumplan algunas condiciones?
