¿Construcción categórica de la categoría de esquemas?

Question

Es probable que la respuesta a la siguiente pregunta sea bien conocida o que la propia pregunta no tenga una respuesta razonable. En este último caso, ¿podría indicarme cuál es la pregunta "correcta" (en lugar de afirmar que la respuesta es 42;))?

¿Existe un procedimiento puramente categórico que tome la categoría de anillos conmutativos como entrada y produzca la categoría de esquemas (sobre $\mathbf{Z}$ ) como salida?

Un posible punto de partida sería considerar un esquema $X$ como un functor de la categoría $CommRing$ de anillos conmutativos a la categoría de conjuntos: $A\mapsto Hom_{Sch}(Spec(A),X)$ donde $A$ un anillo conmutativo. Si en lugar de $Spec(A)$ consideramos todos los esquemas, entonces simplemente obtenemos la incrustación de Yoneda. Pero surgen algunas preguntas.

1. ¿Da esto un funtor totalmente fiel de esquemas a funtores de anillos conmutativos a conjuntos? O, hablando en términos generales, ¿ $Spec(A)$ -puntos valorados ( $A$ un anillo conmutativo) bastan para determinar un esquema? (Mi opinión es que la respuesta es sí y esto es clásico).

2. ¿Hay alguna forma de caracterizar esos funtores que realmente provienen de esquemas? Por ejemplo, se puede introducir una topología de Grothendieck en $CommRing$ (o su opuesto) y exigir que el functor sea una gavilla en esa topología. Pero en ese caso, ¿se puede describir la topología sin referirse al hecho de que los objetos de $CommRing$ son anillos conmutativos? (Aquí mi opinión es que la primera pregunta es probablemente demasiado complicada, pero hay algunas condiciones necesarias).

3. Independientemente de que la respuesta a la pregunta 2. sea positiva o negativa, ¿hay alguna forma de describir los espacios algebraicos o los apilamientos como presheaves en $CommRing^{op}$ que cumplan algunas condiciones?

Answer 1

1. La forma intelectual de reformular su pregunta es la siguiente. Considere la categoría $Sch$ de todos los esquemas dotados de la topología de Zariski. Existe una incrustación totalmente fiel de la categoría de esquemas afines $Aff = CommRing^{op}$ en $Sch$ la topología inducida en $Aff$ por lo que en $Sch$ es también la topología de Zariski. El lema de comparación ([SGA4] III, 4.1) dice entonces que, como cualquier objeto en $Sch$ pueden ser cubiertos por objetos en $Aff$ las categorías de gavillas en ambos sitios son equivalentes. En particular, las láminas representables en $Sch$ (es decir, los esquemas) están determinados por sus valores en los esquemas afines.
2. Para una gavilla $F$ en $Aff$ para ser representado por un esquema basta con que esté cubierto por esquemas afines, es decir, que existan esquemas afines $U_i$ junto con las inmersiones abiertas $U_i \to F$ (hay que definir lo que significa, por supuesto) tal que $\coprod_i h_{U_i} \to F$ es un epimorfismo de gavillas. En realidad, se puede tomar esto como una definición de esquemas. La compatibilidad de los encolados en la definición clásica se resuelve aquí mediante la condición de gavilla.
3. Los espacios algebraicos pueden definirse de forma similar. Mientras escribía esto, Harry se me adelantó dando la referencia al excelente notas de Bertrand Toën de un curso suyo sobre pilas algebraicas.

En la 2, también se pregunta si se pueden construir esquemas a partir de $Aff$ sin utilizar el hecho de que se trata de anillos conmutativos. Yo creo que no. Las tonterías categóricas sólo pueden llevarte hasta cierto punto: en algún momento tienes que introducir la propia geometría, y eso viene dado por el $Aff$ con su topología. Si sustituye $Aff$ por la categoría de conjuntos abiertos en algún $\mathbb{R}^n$ con las inmersiones abiertas se acabarían definiendo los colectores. Esto es lo que Toën llama contextos geométricos .

Answer 2

Los apuntes de Toen sobre las pilas construyen la categoría de los esquemas como la categoría de las láminas etale (pregrabados que satisfacen la descendencia en la topología etale) sobre CRing^op con una cobertura conjuntamente suryectiva por monomorfismos suaves (ejercicio: demostrar que los monomorfismos suaves de los afines son etale) de funtores representables (es decir, afines).

https://ncatlab.org/nlab/show/Master+curso+sobre+las+pilas+algebraicas

Construye espacios algebraicos de manera similar, y luego construye pilas algebraicas utilizando el mismo enfoque después de una digresión en la teoría del descenso homotópico (que se generaliza fácilmente al enfoque adoptado en Toen-Vezzosi (Geometría Algebraica Homotópica).

El caso de los esquemas recibe un tratamiento más general en un "contexto geométrico" fijo, que es una categoría con una topología de Grothendieck y una clase fija de morfismos compatibles con ella. Un esquema es entonces simplemente una "variedad geométrica" en el "contexto algebro-geométrico", que es CRing^op equipado con la topología etale, donde la clase fija de morfismos es la clase de morfismos suaves de afines (morfismos correspondientes a morfismos suaves en CRing).

Answer 3

Si $B$ es un sitio, entonces la categoría de presheaf $\hat{B} = Set^{B^{op}}$ también es un sitio y la topología se restringe a la de $B$ . Ver esto pregunta relacionada .

Si tomamos $B$ para ser el dual de la categoría de anillos con la topología de Zariski ( $R_i \to R$ es un recubrimiento si los morfismos del anillo $R \to R_i$ son localizaciones en elementos $f_i \in R$ de manera que el $f_i$ generan el ideal unitario), considere la subcategoría completa de $\hat{B}$ que consiste en todas las láminas que están cubiertas por funtores representables, entonces obtenemos la categoría de esquemas con la topología de Zariski.

También si $B$ es la categoría de subconjuntos abiertos en algún espacio euclidiano, se puede producir la categoría de colectores.

Básicamente, estas construcciones permiten construir objetos globales utilizando modelos locales.

Answer 4

Lo que preguntas es sólo la forma de hacer la teoría del esquema en

Demazure y Gabriel, Introducción a la geometría algebraica y a los grupos algebraicos. Traducido del francés por J. Bell. North-Holland Mathematics Studies, 39. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-Nueva York, 1980 ( Google Books , MR563524 , zbMATH )

Answer 5

Vale la pena señalar la tesis de Zhen Lin Low

Low, Z. L. (2016). Categorías de espacios construidos a partir de modelos locales (tesis doctoral). doi: 10.17863/CAM.384

con resumen

Muchas de las clases de objetos que se estudian en geometría se definen eligiendo primero una clase de espacios agradables y luego permitiéndose pegar estos modelos locales para construir espacios más generales. Los ejemplos más conocidos son los colectores y los esquemas. El objetivo principal de esta tesis es dar cuenta unificada de este procedimiento de construcción de una categoría de espacios construida a partir de modelos locales y estudiar las propiedades generales de tales categorías de espacios. La teoría desarrollada aquí se ilustrará con referencia a ejemplos, incluyendo los mencionados manifiestos y esquemas. Para concretar, consideremos el paso de los anillos conmutativos a los esquemas. Hay tres pasos principales: en primer lugar, se identifica una clase distinguida de homomorfismos de anillos correspondientes a inmersiones abiertas de esquemas; en segundo lugar, se define la noción de recubrimiento abierto en términos de estos homomorfismos distinguidos; y, por último, se incrusta lo contrario de la categoría de anillos conmutativos en una categoría ambiente en la que se pueden pegar (los duales formales de) anillos conmutativos a lo largo de (los duales formales de) homomorfismos distinguidos. Tradicionalmente, se considera que la categoría ambiente es la categoría de los espacios anillados localmente, pero siguiendo a Grothendieck, se podría trabajar igualmente en la categoría de las láminas para el gran sitio de Zariski; es el llamado "enfoque del functor de puntos". Una tercera opción, relacionada con la terminación exacta de una categoría, se describe en esta tesis. El resultado principal puede resumirse así: las categorías de espacios construidas a partir de modelos locales son categorías extensas con una clase de morfismos distinguidos, sujetas a varios axiomas de estabilidad, de tal manera que ciertas relaciones de equivalencia (definidas en relación con la clase de morfismos distinguidos) tienen cocientes estables a la tracción; además, esta construcción es functorial y tiene una propiedad universal.

Esa última frase es quizás más fuerte que otras respuestas aquí, que con toda probabilidad dan la construcción que hace Zhen Lin, aunque en el caso especial de sólo esquemas.