Lema sobre el anillo de Dedekind

Question

Creo que será obvio para algunos pero he empezado a leer la Teoría Algebraica de Números de A. Frolich & J.W.S Cassels y no entiendo la demostración de un lema. Si tomamos $R$ un anillo Dedekind, $K=\operatorname{Frac}(R)$ , $U$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $K$ y $T$ a $R$ -submódulo de $U$ entonces el lema dice que $$\bigcap_p T_p =T$$ donde $p$ son ideales primos de R, $T_p=TR_p$ donde $R_p=(R\setminus p)^{-1}R$ . Y en el libro se dice que esta claro que : $$T \subset \cap_p T_p$$

No entiendo por qué :/.

Answer 1

Porque $R$ es un dominio integral, tenemos $R \subset R_p$ si consideramos ambos como subconjuntos de $K$ . (Porque los elementos de $R_p$ son de la forma $\frac{r}{s}$ avec $r \in R$ y $s \in R\setminus P$ y siempre podemos establecer $s=1$ , para conseguir $R \ni r=\frac{r}{1} \in R_p)$

Entonces $T=TR \subset TR_p=T_p$ donde la primera igualdad se mantiene porque $T$ es un $R$ -módulo. Como esto es válido para cualquier $p$ tenemos $T \subset \cap_p T_p$