Espectro de un operador de desplazamiento a la derecha "cuasi"

Question

Dejemos que $\mathcal{H}$ sea un espacio de Hilbert y sea { $e_j$ } $_{j\in \mathbb{Z}}$ sea una base ortonormal para $\mathcal{H}$ . Definir un operador lineal $T$ en $\mathcal{H}$ por $T(e_0) = 0$ y $T(e_j) = e_{j+1}$ para $j \neq$ 0. Definir otro operador lineal sobre $\mathcal{H}$ por $A(e_0) = e_1$ y $A(e_j) = 0$ para $j \neq 0$ . Para $z \in \mathbb{C}$ , defina $T_z = T +zA$ .

Me piden que encuentre $\sigma(T_z)$ y decir qué pasa cuando $z \to 0$ (que imagino que es obvio si puedo encontrar $\sigma(T_z)$ ).

He intentado encontrar $\sigma(T_z)$ para ciertos valores de $z$ con poco éxito. Sé que $\sigma(A)$ = { $0$ } ya que el radio espectral de $A$ es $0$ ( $A^n$ para $n>1$ va a ser simplemente el operador trivial) y así $\sigma(zA)$ = { $0$ }; No estoy seguro de que esto sea útil. Corrígeme si me equivoco, pero $||T_z||$ = $1$ $\lor$ $||z||$ así que $\sigma(T_z) \subset \overline{B}_{1 \lor ||z||}(0)$ . Creo que el espectro de puntos de $T_z$ estará vacío para $z \neq 0$ lo que tampoco me ayuda.

Para contextualizar, la parte anterior de este problema pedía $\sigma(T)$ .

Cualquier indicación en la dirección correcta sería genial.

Answer 1

Sugerencia: si $z \ne 0$ , $T_z$ está estrechamente relacionado con el operador ordinario de desplazamiento a la derecha.

Answer 2

En primer lugar, hay que tener en cuenta que $T_z$ es un bilateral ponderado invertible como $T_ze_0=ze_1$ y $T_ze_j=e_{j+1}$ para todos $j\not=0$ . Además, $\|T_z^n\|=\max(1,|z|)$ y $\|T_z^{-n}\|=\max(1,|z|^{-1})$ para todos $n\geq1$ y por lo tanto $r(T_z)=r(T_z^{-1})=1$ . Esto le dice que $\sigma(T_z)\subset\Bbb{T}=\{\lambda\in\Bbb{C}:|\lambda|=1\}$ pero, ya que desde $\sigma(T_z)$ no es vacía y es invariante por rotación alrededor del origen, $\sigma(T_z)=\Bbb{T}$ . Observe que $U\alpha T_z=(\alpha T_z) U_\alpha$ donde $U_\alpha$ es el operador unitario definido por $U_\alpha e_n=\alpha^ne_n$ y $T_z$ y $\alpha T_z$ son unitariamente equivalentes y, por tanto, la invariabilidad por rotación en torno al origen de los espectros de $T_z$