Encontrar todos los triples de números reales no negativos $(a,b,c)$

Question

Encontrar todos los triples de números reales no negativos $(a,b,c)$ tal que:

$a^2+ab=c$

$b^2+bc=a$

$c^2+ca=b$ .

Esta pregunta fue el problema número de 3 en la Olimpiada RMO(India) de 2019 celebrada el $10^{th}$ En noviembre. enlace .

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Mi intento

Supongamos que $a \geq b\geq c$ ,

$\therefore a^2 \geq b^2$ y $ab\geq bc$ .

Añadiendo estos dos, $a^2+ab\geq b^2+bc$

implica $c \geq a$ .

Lo cual sólo puede ser posible si $a=c$ , lo que implica también $a=b=c$ .

Sustituyendo en las ecuaciones base,

$a^2+a^2=a$

$\therefore (a,b,c)=(0,0,0)$ o $(0.5,0.5,0.5)$

Quiero saber si mi método es correcto porque parece muy diferente al proporcionado en las soluciones.

Answer 1

Su método no es completo porque el sistema es cíclico y no simétrico.

No puede asumir que $a\geq b\geq c$ .

Podemos resolver nuestro sistema de la siguiente manera.

Tenemos: si $a=0$ así que $c=0$ y desde aquí $b=0$ que da una solución $(0,0,0)$ .

Por lo tanto, es suficiente para resolver nuestro sistema para $abc\neq0$ y sice $$a(a+b)=c,$$ $$b(b+c)=a$$ y $$c(c+a)=b,$$ obtenemos: $$abc\prod_{cyc}(a+b)=abc$$ o $$\prod_{cyc}(a+b)=1.$$ Por otro lado, a partir del sistema de partida obtenemos: $$(a-b)(a+b)=(c-a)(b+1),$$ $$(b-c)(b+c)=(a-b)(c+1)$$ y $$(c-a)(c+a)=(b-c)(a+1).$$ Así, $a=b$ da $c=a$ y tenemos lo mismo que tú: $a=b=c,$ que da también una solución $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).$

Ahora, dejemos que $(a-b)(b-c)(c-a)\neq0.$ Así, a partir del último sistema obtenemos: $$\prod_{cyc}(a-b)\prod_{cyc}(a+b)=\prod_{cyc}(a-b)\prod_{cyc}(a+1)$$ o $$1=\prod_{cyc}(a+1),$$ que es imposible, lo que da la respuesta: $$\left\{(0,0,0),\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}$$

Answer 2

Su método no me convence del todo.

Cuando tenemos ecuaciones que son completamente simétricas en tres variables, podemos asumir cualquier orden parcial que queramos sin pérdida de generalidad.

En este caso, sin embargo, las ecuaciones sólo son cíclicamente simétricas en $a,$ $b,$ y $c.$ Si cambias $a$ y $b$ se obtiene un conjunto diferente de ecuaciones.

Pero si además se menciona que un resultado similar ocurre cuando $b\geq a\geq c,$ entonces has cubierto todas las permutaciones posibles de las variables en el orden parcial, y estoy convencido. Afortunadamente, un resultado similar hace seguir.

Answer 3

Eliminación de $b,c$ de nuestro sistema obtenemos para $a$ la siguiente ecuación: $$2 a^8+a^7+a^6+3 a^5+6 a^4+2 a^3-a^2-a=0$$ y esto es $$a (2 a-1) \left(a^6+a^5+a^4+2 a^3+4 a^2+3 a+1\right)=0$$