La primera Cartan ecuación es
$$\mathrm{d}\omega^{a} + \theta^{a}_{b} \wedge \omega^{b} = T^{a}$$
donde $\omega^{a}$ es una base ortonormales, $T^{a}$ es la torsión y la $\theta^{a}_{b}$ son las conexiones. En Misner, Thorne y Wheeler, así como varias conferencias en GR utilizando la Cartan formalismo, asumen $T^{a} = 0$ a, a continuación, utilizar la primera ecuación para determinar las conexiones. ¿Por qué es válido asumir que en el GR de la torsión es cero?
En el estándar de las fórmulas de la relatividad general, es simplemente una suposición de la teoría diseñado para que los afín geodesics dada por la conexión coincide con la métrica geodesics dada por extremizing el espacio-tiempo de intervalo.
La de Levi-Cevita conexión es la única conexión que es de torsiones y métrica-compatible, pero para GTR sólo la torsión libre de asunción es necesario. A través de la Palatini acción dada por el Lagrangiano $\mathscr{L}_G = \sqrt{-g}g^{ab}R_{ab}\text{,}$ la conexión de los coeficientes de ser simétrica es suficiente para deducir que son necesariamente $$\Gamma^a_{bc} = \frac{1}{2}g^{ad}\left[g_{db,c}+g_{dc,b}-g_{bc,d}\right]\text{.}$$ El Palatini enfoque se describe en algunos de introducción de los libros de texto, por ejemplo, Ray d'Inverno del Introducting de Einstein de la Relatividad de einstein, y como un ejercicio de Sean Carroll, del espacio-Tiempo y la Geometría.
Físicamente, el no-torsión suposición permite la métrica para tomar el papel de un potencial para el "campo gravitatorio" de conexión de los coeficientes.
Pero al final es sólo una suposición de la teoría; si no la toma, está haciendo algo más, como la de Einstein-Cartan teoría o teleparallel gravedad. Curiosamente, esto es lo que Einstein tenía que decir acerca de la relación entre la conexión y la métrica alrededor de la época cuando él estaba trabajando en teleparallelism:
... la esencial el logro de la relatividad general, es decir, para superar el "rígido" espacio (es decir, el marco inercial), es sólo indirectamente conectado con la introducción de una métrica de Riemann. El directamente conceptual pertinente elemento es el "campo de desplazamiento" ($\Gamma^l_{ik}$), que expresa el desplazamiento infinitesimal de vectores. ... Esto hace que sea posible para la construcción de los tensores por la diferenciación y por lo tanto prescindir de la introducción de "rígido" el espacio (el sistema inercial). En vista de esto, parece ser de importancia secundaria, en cierto sentido, que algunas particular $\Gamma$ campo puede ser deduce a partir de una métrica de Riemann ...
Hay (al menos) dos enfoques a la torsión en el marco geométrico detrás de la relatividad general:
En primer lugar, la podemos usar para codificar un nuevo grado de libertad de la teoría: El acoplamiento de spin para el campo gravitacional. Este es Einstein-Cartan teoría, que es (como lo que yo sé) ni admitidos ni excluidos por la evidencia observacional.
Segundo, se puede utilizar para codificar la existente gravitacional grados de libertad. Hay una especie de medidor de simetría entre la curvatura y la torsión. Medidor de fijación de torsión a 0, nos encontramos con la relatividad general, mientras que la fijación de curvatura a 0, nos encontramos con su teleparallel equivalente.
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